Reicht das als Beweis für eine Bijektion?

29.12.2019, 17:53	existierender Name	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht das als Beweis für eine Bijektion? Meine Frage: Guten Abend, ich habe folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} f : \begin{cases} (-1;1) &\to \mathbb{R} \\<br /> x &\mapsto \frac{x}{1-x^2} \end{cases} \end{eqnarray}$ und soll ihre bijektivität zeigen. Ihre Injektivität zeige ich so: Seien m,n aus der Definitionsmenge und f(m),f(n) ihre Funktionswerte. $\begin{eqnarray} \frac{m}{1-m^2} &= \frac{n}{1-n^2} \\<br /> \Leftrightarrow m+ m^2 &= n+n^2 \end{eqnarray}$ f ist folglich injektiv. Ich bin mir bei der Surjektivität nicht sicher. Versuch: Die Definitionsmenge ist 0, {0<x<1} und die deren Spiegelzahlen. Wegen der ungeraden Potenz von x im Nenner ist f(n) nicht f(-n). Für alle n aus der Definitionsmenge. Also ist f surjektiv und somit bijektiv. Aber mein Surjektionsbeweis war kein formaler Beweis, also bin ich mir nicht so sicher, ob er richtig ist. Meine Ideen: Habe ich oben genannt Latex korrigiert. klauss
29.12.2019, 22:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Äquivalenz müsstest Du erläutern, da sie nicht offensichtlich und mit ziemlicher Sicherheit auch falsch ist. Aus der Gleichung $\begin{eqnarray} m+m^2=n+n^2 \end{eqnarray}$ kannst Du zudem nicht die Injektivität schließen, denn $\begin{eqnarray} g(x)=x+x^2 \end{eqnarray}$ ist auf dem Intervall [-1;0] nicht monoton.
30.12.2019, 17:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
der Graph sieht zumindest streng monoton aus. Gute Voraussetzung für Bijektivität.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »