Determinantenform

29.12.2019, 20:01

Ben1010

Determinantenform

Meine Frage:
Sein $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray*} (b_{1},...,b_{n}) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Determinantenform auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega(b_{1},...,b_{n})=1 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \omega(b_{n}, b_{n-1}, ..., b_{2}, b_{1}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \omega(b_{n}, b_{n-1}, ..., b_{2}, b_{1}) = 1 \end{eqnarray*}$ für n gerade und -1 für n ungerade?

29.12.2019, 20:16

Leopold

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Deine Antwort stimmt nicht. Bringe die Vektoren durch Nachbarvertauschungen in die natürliche Reihenfolge:

erst die 1 durch Nachbarvertauschungen nach vorne
dann die 2 durch Nachbarvertauschungen an die zweite Stelle
und so weiter

Auf wie viele Nachbarvertauschungen kommst du insgesamt?

29.12.2019, 20:36

Ben1010

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Okay, danke für den Tipp! Also wenn n gerade ist, sind es $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ Transpositionen, und wenn n ungerade ist, sind es $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , oder?

29.12.2019, 20:49

Leopold

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Du bist anders vorgegangen als von mir vorgeschlagen. Aber deine Lösung funktioniert auch. Anscheinend bist du vom Rand aus nach innen gegangen, also keine Nachbarvertauschungen, sondern Randvertauschungen. Bei meinem Vorschlag kommt man auf

$\begin{align*} f(n)= (n-1) + (n-2) + \ldots + 2 + 1 = \frac{1}{2} n (n-1) \end{align*}$

Vertauschungen, bei deinem auf

$\begin{align*} g(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \equiv 0 \pmod 2 \\ \frac{n-1}{2}, & n \equiv 1 \pmod 2 \end{cases} \end{align*}$

Glücklicherweise ist $\begin{align*} f(n) \equiv g(n) \pmod 2 \end{align*}$ .
Dein Term ist linear, enthält aber eine Fallunterscheidung, mein Term kommt ohne Fallunterscheidung aus, ist aber dafür quadratisch. Such's dir aus!

29.12.2019, 22:37

Ben1010

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Danke! Aber wieso steht da auf einmal modulo? Lässt sich das etwa mit dem modulo berechnen? Kannst du mir bitte zeigen, wie du auf $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen bist, also deine Rechnung?

30.12.2019, 09:43

Leopold

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Statt $\begin{align*} n \equiv 0 \pmod 2 \end{align*}$ hätte ich auch "n gerade", statt $\begin{align*} n \equiv 1 \pmod 2 \end{align*}$ auch "n ungerade" schreiben können. Mehr ist das nicht.
Und deine restliche Frage verstehe ich nicht. Das war doch deine (!) Lösung, nicht meine. Ich habe vermutet, wie du darauf gekommen bist. Letztlich weiß ich es aber nicht. Nur du selbst kannst deine Lösung erklären.

30.12.2019, 15:24

Ben1010

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Ach soo! Danke! Also auf mein Ergebnis bin ich gekommen indem ich das gedanklich für ein paar n einmal durchgespielt habe. Aber das ist ja kein Beweis. Ich habe nichts gerechnet. Ich wollte wissen, ob du vielleicht eine elegantere Methode angewandt hast?

Okay, zurück zur Aufgabe. Sei n gerade. Dann müssen wir n/2- mal umsortieren um auf $\begin{eqnarray*} \omega(b_{1},...,b_{n}) \end{eqnarray*}$ zu kommen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \omega(b_{n}, ..., b_{1}) = (-1)^{\frac{n}{2}} \cdot \omega(b_{1},...,b_{n}) = (-1)^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Analog erhält man für n ungerade:

$\begin{eqnarray*} \omega(b_{n}, ..., b_{1}) = ... = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

So müsste es stimmen smile

Kannst du mir bitte noch meine obige Frage beantworten?

31.12.2019, 10:05

Leopold

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Zitat:

Original von Ben1010
Ich habe nichts gerechnet. Ich wollte wissen, ob du vielleicht eine elegantere Methode angewandt hast?

Ich habe eine andere Methode angewandt und sie ausführlich beschrieben, ich brauche mich da nicht zu wiederholen. Ob sie eleganter als deine ist, ist eine Geschmacksfrage. Ich finde deine Idee schön: erstes Element gegen letztes vertauschen, zweites gegen vorletztes, drittes gegen drittletztes und so weiter. Bei ungerader Anzahl bleibt das Element in der Mitte übrig, es steht von vorneherein auf dem richtigen Platz. Bei gerader Anzahl werden die $\begin{align*} n \end{align*}$ Elemente in disjunkte Paare, $\begin{align*} \frac{n}{2} \end{align*}$ an der Zahl, aufgeteilt und die Glieder jedes Paares getauscht. Bei ungerader Anzahl geht das mittlere Element nicht in die Paarberechnung ein, und es werden $\begin{align*} \frac{n-1}{2} \end{align*}$ Vertauschungen durchgeführt.

Wenn du das so oder ähnlich, wie ich es gerade gemacht habe, in Worten beschreibst, hast du einen vollgültigen Beweis für deine Formel.

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