Integralumformung Fouriertransformation 2sincos

29.12.2019, 23:34	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
*Integralumformung Fouriertransformation 2sincos* Meine Frage: Zur Aufgabe: Zu [latex]T \in (0\|\infty) \text{ sei } u_I : \mathbb{R} \rightarrow {\mathbb{C}} \text{ definiert durch: }[\latex] [latex]u_I(t) := 2 \cdot \cos{(\frac{4 \pi t}{T})} \cdot \sin{(\frac{4 \pi t}{T})} \text{ für } t \in I := (0\|\frac{T}{2})[\latex] [latex]\text{ und } u_I(t) := 0 \text{ für } t \in \mathbb{R} \backslash I \text{. Nehmen Sie zunächst für bel. } f \in \mathbb{R} \text{ die Integralumformung}[\latex] [latex]U_I(f) := \int_{a = 0}^{b = \frac{T}{2}} u_I(t) \cdot {e}^{-2 \pi j f t} dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx[\latex] durch eine Substitution [latex]t = \varphi(x)[\latex] mittels einer geeigneten reell-affin-linearen Funktion [latex]\varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } \varphi{(-1)} = 0 \text{ und } \varphi{(1)} = \frac{T}{2} \text{ vor und geben Sie nachstehend ihre Wahl für }[\latex] [latex]\varphi(x) := ?[\latex] [latex]w(x) := ? \quad \text{ für } x \in \mathbb{R} \text{ an ! }[\latex] [latex]\text{ Zerlegen Sie anschließend }w = w_g + w_u \\ \text{ in einen 'geraden' Anteil } w_g \text{und einen 'ungeraden' Anteil } w_u \\ \text{ und geben Sie den geraden Anteil für nicht-negative } \\ x \in [0\|\infty) \\ \text{ in möglichst einfacher Weise (d.h. ohne Produktbildungen aus sin- bzw. cos- Termen) explizit an }[\latex] [latex]w_g(x) = ?[\latex] [latex]\text{ und berechnen Sie für alle 'generischen' } f (\text{ d.h. bis auf die Ausnahme von Spezialfällen mit } T \cdot f \in \mathbb{Z}) \text{ das nun noch verbleibende Integral: }[\latex] [latex]U_I(f) = 2 \cdot \int_{0}^{1} w_g(x) dx[\latex] Meine Ideen: Mein Ansatz bzw. das Problem: Die Substitution ist wie folgt: [latex]t = \frac{a + b}{2} + x \cdot \frac{b - a}{2} = \frac{T}{4} + x \cdot (\frac{T}{4})[\latex] Laut der Lösung soll für w(x) folgendes rauskommen: [latex]w(x) = \frac{T \cdot {e}^{-j \cdot \pi \cdot T \cdot f \cdot x} \cdot \cos{(\pi \cdot x)} \sin{(\pi \cdot x)}}{2} (x \in \mathbb{R})[\latex] Und für wg(x) folgendes: [latex]w_g(x) = \frac{j \cdot T \cos{((\pi \cdot T \cdot f + 2 \cdot \pi) \cdot x)} - j \cdot T \cdot \cos{((\pi \cdot T \cdot f - 2 \cdot \pi) \cdot x)}}{8} (x \in [0\|\infty))[\latex] zur Frage: Wie komme ich auf den Exponenten der e Funktion mit - j pi T f und x in der Lösung für w(x) also: [latex]w(x) = \frac{T \cdot {e}^{-j \cdot \pi \cdot T \cdot x} \cdot \cos{(\pi \cdot x)} \cdot \sin{(\pi \cdot x)}}{2}[\latex]
30.12.2019, 14:50	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurz Wenn ich für t folgende reell-affin-lineare Substitution vornehmen : $\begin{eqnarray} \\ t = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2}\cdot x \end{eqnarray}$ Dann komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} U_I(f) = \int_{a = 0}^{b = T/2} 2 \cdot \cos{\left(\frac{4 \pi t}{T}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{4 \pi t}{T}\right)} \cdot {e}^{-2 \pi f t}dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx \end{eqnarray}$ und da soll jetzt folgendes für w(x) herauskommen: $\begin{eqnarray} w(x) = \frac{T\cdot {e}^{-j \pi T f x} \cdot \cos{(\pi x)} \sin{(\pi x)}}{2} (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und meine Frage ist jetzt, wenn ich für $\begin{eqnarray} t = \frac{T}{4} + x \cdot \frac{T}{4} \end{eqnarray}$ einsetze, dann komme ich beim Exponenten der e Funktion auf folgendes: $\begin{eqnarray} {e}^{-\pi j f \frac{T}{2} (1 + x)} \end{eqnarray}$ und nicht auf $\begin{eqnarray} {e}^{-\pi j f T x} \end{eqnarray}$ Hatte bei dem anderen ein Backslash statt einem normalen slash Hoffe das es jetzt klar geworden ist.
01.01.2020, 00:46	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Dinge: 1. Zwischen der Frequenz $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und der Periodendauer $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gibt es die Beziehung $\begin{eqnarray} f\cdot T=1 \end{eqnarray}$ . 2. Der zu integrierende Ausdruck läßt sich vereinfachen mithilfe der allgemeingültigen Beziehung: $\begin{eqnarray} \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right) \end{eqnarray}$ indem man hier $\begin{eqnarray} \beta=0 \end{eqnarray}$ setzt. $\begin{eqnarray} \sin\alpha=2\sin\left(\frac\alpha 2\right)\cos\left(\frac\alpha 2\right) \end{eqnarray}$ oder einfacher $\begin{eqnarray} \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ .

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