Vektorraum

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29.12.2019, 23:51	Anna0638	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Meine Frage: Hey, könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? Es sei $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ die Menge aller reellen Polynome $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p^{m}=0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: a) $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraum. b) Geben Sie eine möglichst einfache Basis für $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Reicht es bei (a) nicht einfach zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ein UVR des Vektorraums aller Polynomfunktionen vom Grade n ist? Bei (b) hänge ich echt fest; was wäre denn z.B. ein Polynom, für das $\begin{eqnarray} p^{m}=0 \end{eqnarray}$ gilt, und das nicht das Nullpolynom ist? Mir fällt keines ein. Könntet ihr mir bitte ein wenig helfen?
30.12.2019, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlen zwei wichtige Informationen: Was ist m und versteht ihr unter $\begin{eqnarray} p^m \end{eqnarray}$ die m-te Potenz, die m-te Ableitung oder die m-fache Verkettung des Polynoms mit sich selbst?
30.12.2019, 00:21	Anna0638	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehr steht leider wirklich nicht in der Aufgabe drin. Habe sie aus dem Internet; da ich nicht registriert bin, kann ich den Link leider nicht posten. Sie entstammt einen Aufgabenverzeichnis der Uni Stuttgart, vielleicht kennst du das ja? Ich war jetzt davon ausgegangen, dass m eine bestimmte natürliche Zahl ist, und hier für die m-fache Verkettung des Polynoms mit sich selbst steht. Aber vielleicht irre ich mich auch. Was meinst du?
30.12.2019, 00:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach einiger Recherche bin ich auf die Korrekte Formulierung gestoßen: Das m ist eine römische drei, also ist die dritte Ableitung gemeint.Das passt dann auch zur üblichen Formulierung, dass $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ die Menge aller Polynome mit dem Höchstgrad zwei darstellt.
30.12.2019, 15:36	Anna0638	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Mühe! Und du hast natürlich recht! Wenn man reinzoomt, erkennt man, dass da eine römische 3 steht. Gott steh uns bei. Okay, dann mal ans Werk. Also die Vektoraddition und Skalarmultiplikation bleiben ja gleich, also muss ich für (a) zeigen, dass $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ nicht leer und bezüglich Vektoraddition und Skalarmulitplikation abgeschlossen ist, richtig? Eine möglichst einfache Basis von unserem Freund $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} B=(1,x) \end{eqnarray}$ .
30.12.2019, 15:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlt da nicht noch ein Element in der Basis?
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31.12.2019, 01:21	Anna0638	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ ? Ich glaube, das ist kein Basiselement...
31.12.2019, 10:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} f'''(x)=0 \end{eqnarray}$ ? Lässt sich f als Linearkombination von 1 und x darstellen?
31.12.2019, 15:11	Anna0638	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, entschuldige bitte, klarsoweit, habe die ganze Zeit an die die zweite und nicht an die dritte Abbildung gedacht. Und danke, Helferlein . Die Basis ist damit B={1, x, x^2}. Und zu (a), wo man zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ein VR ist:: (i) Zunächst einmal ist $\begin{eqnarray} P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ nicht leer, da klarerweise $\begin{eqnarray} 0 \in P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . (ii) Seien nun $\begin{eqnarray} f, g \in P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (f+g)'''(x) = f'''(x) + g'''(x) = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (f+g) \in P_{2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Und analog zeigt man dann die multiplikative Abgeschlossenheit und ist fertig, richtig?
31.12.2019, 19:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Anmerkungen dazu: Es ist nicht die Basis, sondern eine Basis von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ . Außerdem würde ich noch ein, zwei Worte darüber verlieren, warum das eine Basis ist, auch wenn die Aufgabe nur die Angabe einer einfachen Basis erfordert.

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