Holomorphe Funktion

30.12.2019, 14:29

schiggy

Holomorphe Funktion

Meine Frage:
Sei G ein Gebiet und f:G->C holomorph.
Kann die Funktion h(z):= (komplex konjugiert f(z))^{n} holomorph sein, für ein n element der natürlichen Zahlen.

Meine Ideen:
Ich weiss, dass das Produkt holomorpher Funktionen holomorph ist.
=> (f(z))^n ist holomorph für jedes n von den nat. Zahlen.
Ich weiss auch das für f(z)= komplex konj. z nicht holomorph ist.

Folgendes habe ich getest. (def z=x+yi und komplex konj z = w = x-yi)
Ich habe mal ausprobiert:
z*z = x^2-y^2 +2xyi. und w*w= x^2 -y^2 -2xyi
Feststellung das Produkt davon ist immernoch das komplex konjugierte.

Deshalb denke ich es gibt kein n element der natürlichen Zahlen, so das h(z) holomorph ist.

Wenn ich jetzt die Induktion mache sollte ich es bewiesen haben. Gibt es einen schneller Weg.

Die Übung ist aus einer alten Klausur und gibt 1 Punkt von 27 (Zeit 90min), da habe ich das Gefühl das ich mit der Induktion zuviel Zeit verlier.

30.12.2019, 14:37

KeinGastMehr

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Wenn eine Aufgabe nur einen Punkt gibt, sollte es eine relativ einfache Lösung geben. Das ist hier der Fall. Insbesondere ist das hier nicht richtig:

Zitat:

Ich weiss auch das für f(z)= komplex konj. z nicht holomorph ist.

Für die "meisten" holomorphen Abbildungen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist das so, aber eben nicht für alle. ;-)

30.12.2019, 15:27

schiggy

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Vielen Dank. Freude

Ich bin ein bisschen unter Zeitdruck, weil ich in den nächsten 7Tagen 2Klausuren und ein Seminar vorbereiten muss.
Wie komme ich zur Lösung?
und hast du mir ein Beispiel für f(z)= komp z ist holomorph, da wäre ich echt dankbar.

30.12.2019, 15:30

KeinGastMehr

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Du kannst sehr leicht (überabzählbar) viele Abbildungen $\begin{eqnarray*} f \colon G \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ finden, sodass für alle $\begin{eqnarray*} z \in G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(z) = \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ . Klingelt es jetzt? Augenzwinkern

30.12.2019, 16:24

HAL 9000

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@schiggy

Man kann auch stur rechnen: Wir wissen, dass mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} (f(z))^n = u(x,y) + iv(x,y) \end{eqnarray*}$

holomorph ist, somit nach Cauchy-Riemann die DGLn $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$ gelten. Wenn nun aber auch

$\begin{eqnarray*} \left(\overline{f(z)}\right)^n = u(x,y) - iv(x,y) \end{eqnarray*}$

holomorph sein soll, so muss ebenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$ gelten. Was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2019, 16:45

schiggy

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f(z)=c= $\begin{eqnarray*} \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ mit c $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und diese erfüllen die Cauchy-Riemmansche DGL.
=> f(z)= $\begin{eqnarray*} \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ sind beide holomorph, wenn f(z)=c.

Im allgemeinen ist die h(z) nicht holomorph, falls jedoch f(z)=c ist, mit c $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist h(z) holomorph. smile

30.12.2019, 16:59

KeinGastMehr

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Zum Beispiel, ja. Allgemeiner kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch eine beliebige konstante Funktion sein, z.B. $\begin{eqnarray*} f(z) = i \end{eqnarray*}$ , aber dann gilt eben nicht mehr $\begin{eqnarray*} \overline{f(z)} = f(z) \end{eqnarray*}$ , was jedoch egal ist, denn $\begin{eqnarray*} z \mapsto \overline{f(z)} = -i \end{eqnarray*}$ wäre ja immer noch holomorph.

Dass die konstanten Abbildungen jedoch die einzigen sind, die das Gewünschte tun, sieht man anhand HAL's Vorschlag.

30.12.2019, 17:06

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Zitat:

Original von KeinGastMehr
Dass die konstanten Abbildungen jedoch die einzigen sind, die das Gewünschte tun, sieht man anhand HAL's Vorschlag.

Ob es die einzigen sind, hängt davon ab, ob man Null als natürliche Zahl betrachtet

30.12.2019, 17:09

KeinGastMehr

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Das ist wohl richtig. Big Laugh

30.12.2019, 17:18

schiggy

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WOW, jetzt habe ich die Aufgabe komplett verstanden.
N ist in der Prüfung nicht weiter definiert mit oder ohne 0, da muss ich nach hacken.
Vielen Dank für eure Hilfe. Wink

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