Charakteristisches Polynom

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Malte005 Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom
Meine Frage:
Geht es nur mir so, oder ist die Bestimmung des charakt. Polynoms ne ziemlich fiese Angelegenheit? Denn nehmen wir eine Matrix ohne Nulleintrag. Die Regel von Sarrus erscheint mir (in Klausursituationen) zu gewagt: zu zeitraubend und mit 60% Wahrscheinlichkeit verrechnet man sich irgendwo - und man kommt auf ein Polynom, dessen Nullstellen man nicht einfach so ablesen kann. Dann wahrscheinlich noch eher Laplace, aber natürlich auch nicht ideal.



Meine Ideen:
Gibts da irgendwelche Tipps und Tricks, oder kann ich davon ausgehen, dass in der Klausur nur Matrizen drankommen, deren charakt. Polynom sich komfortabel bestimmen lässt.


(Ich lese immer "Man überzeugt sich leicht, dass das charakt. Polynom ... ist", aber ich finde das gar nicht so leicht .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sarrussche Regel zur Determinantenberechnung ist kein geeigneter Algorithmus. Laplacescher Entwicklungssatz ist etwas besser. Begriffe wie charakteristisches Polynom und Minimalpolynom sind für die Theorie enorm wichtig, und theoretisch "überzeugt man sich leicht" von diesem und jenem Satz und kann dann "ganz leicht" viele nützliche Folgerungen ziehen. Praktisch ist die Berechnung groesserer Determinanten immer eine Riesenquaelerei. Dafür spricht nur, dass man durch die Berechnung von einigen dutzend Beispielen etwas "Gefühl" für die Theorie bekommt. Wenn man tatsächlich praktische Anwendungen hat, die solche Berechnungen erforderlich machen, benutzt man ComputerAlgebraSysteme, diese liefern Lösungen (aber kein "Gefühl").
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich persönlich gauße gern eine Dreiecksmatrix.
Meist kann man die Faktoren der Zeilenmformungen "stehen lassen" oder "zusammenfassen" und über das Produkt der Diagonale eine einigermaßen übersichtliche Lösung erhalten...
Malte005 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Freunde, das sind schon mal gute Hinweise! Wir können es ja mal konkret machen. Ich habe hier eine Klausuraufgabe. Es sollten die Eigenwerte der Matrix A berechnet werden mit


.


So, dafür wurde dann das charakteristische Polynom bestimmt, und zwar so:

.


Ich verstehe, wie man auf kommt, aber wie kommt man, möglichst schnell, auf das letzte Gleichheitszeichen, also ohne konkret die Nullstellen zu berechnen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen kann man ablesen. Der Linearfaktor liefert 5 als Nullstelle. Beim quadratischen Faktor muß sein, womit man die Nullstellen 2 und 4 erhält. Damit kennt man drei Nullstellen und die Faktorisierung . (Gemäß deiner Definition des charakteristischen Polynoms fehlt in der Zerlegung noch ein Minuszeichen.)
Eine Nuance anders: dritte binomische Formel

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten einfach mit Termumformungen:

Davon jetzt schnell die Nullstellen bestimmen (Formel nach Wahl) oder etwa mit dem Satz von Vieta die Faktorisierung "sehen". Geht man davon aus, dass die Klausursteller auch nur Menschen sind und ein Herz haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit für ganzzahlige Eigenwerte recht hoch (zumindest wenn es um eine Veranstaltung zur linearen Algebra geht, Numerik sieht das natürlich anders aus). Mit diesen Voraussetzungen ist der Satz von Vieta (oder auch: glücklich raten) ein probates Mittel in einer Klausur.
 
 
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Um meinen Hinweis umzusetzen brauchst Du nur einen Schritt

3 Zeile*1/(3-l) + Zeile 2

also


Zum Thema siehe
https://www.geogebra.org/m/upUZg79r
...das Video zeigt ein Beispiel
Malte005 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank Leopold, lorek und hawe!!!!! Das sind super Tipps, ich fange so langsam an, das Ganze zu beherrschen. Der Satz von Vieta ist ja echt praktisch, habe mir das gerade angeguckt; wieso wird der einem nicht schon in der Schule beigebracht? (Gleiches gilt für das Horner-Schema.)

Frage @Leopold: Das Minuszeichen, weil ich von und nicht von ausgegangen bin?
Malte005 Auf diesen Beitrag antworten »

Und könnt ihr noch bitte hierbei helfen? Man nehme folgendes Polynom:

.


Man erkennt relativ schnell, dass die Nullstellen 1 und -1 sind, nur: Woher weiß ich, welcher Nullstelle welche algebraische Vielfachheit zukommt?
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malte005
Frage @Leopold: Das Minuszeichen, weil ich von und nicht von ausgegangen bin?


Da Leopold gerade nicht online ist, antworte ich kurz: Ja, genau. Auf die Nullstellen hat das aber natürlich keinen Einfluss.

Zitat:
Original von Malte005
Und könnt ihr noch bitte hierbei helfen? Man nehme folgendes Polynom:

.


Man erkennt relativ schnell, dass die Nullstellen 1 und -1 sind, nur: Woher weiß ich, welcher Nullstelle welche algebraische Vielfachheit zukommt?


Zwei Möglichkeiten:

1. Polynomdivision:
Es gilt . Von der rechten Seite ist wieder eine Nullstelle. Diese ist einfach, also hat die Nullstelle die algebraische Vielfachheit . Analog mit der anderen Nullstelle.

2. Sofort faktorisieren:
Das funktioniert öfter als man denkt:
.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Alternative zur Polynomdivision:

Hat eine Polynomfunktion eine Nullstelle der Vielfachheit , dann sieht die Polynomfunktion in der Nähe von aus wie .
Malte005 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, vielen Dank, KeinGastMehr und Finn! smile Freude Noch eine abschließende Frage, wenn ihr es mir gestattet. Man nehme das Polynom

.

Hat die Nullstelle 0 hier eine algebraische Vielfachheit von 1 oder von 2? Also ich tippe auf 2, und ihr?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es nichts zu tippen: Die algebraische Vielfachheit ist gleich dem Exponenten, in deinem Beispiel also zwei.
Interessanter ist die zugehörige geometrische Vielfachheit. Die kannst Du aber nur über die Matrix bestimmen.
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