Das zu Beweisende im Beweis benutzen

02.01.2020, 18:38

Name halt, man kennt

Das zu Beweisende im Beweis benutzen

Meine Frage:
Hallöchen, wer schnüffelt am Popöchen?
Ich stieß soeben auf folgenden Beweis für (a,b) = {{a},{a,b}}:
Ich habe für Dich einen Beweis gefunden:

Das Axiom der Gleichheit (Extensionalitätsprinzip - (Ext)):
v0 v1 ( v2 ( v2 v0 v2 v1) v0 = v1). In Worten: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Für geordnete Paare gilt: (x0, y0) = (x1, y1) , wenn x0 = x1 und y0 = y1
Also müsste für die Kuratowski-Formel gelten: (1) {{x0}, {x0, y0}} = {{x1}, {x1, y1}}

Fall 1: x0 = y0
Nach (Ext) ist {{x0}, {x0, y0}} = {{x0}} . Aus (1) wird (2) {{x0}} = {{x1}, {x1, y1}}.
Nach (Ext) ist dann: {x0} = {x1} , also: x0 = x1 , sowie {x0} = {x1, y1} , also:
x0 = x1 und x0 = y1 . Nach Voraussetzung für Fall 1 ist damit bewiesen:
x0 = x1 und y0 = y1

Fall 2: x0 y0
Nach (Ext) folgen aus (1):
(3): {x0} = {x1} oder {x0} = {x1, y1} sowie
(4): {x0, y0} = {x1} oder {x0, y0} = {x1, y1}
Zu (3): Aus (Ext) folgt: x0 = x1
Zu (4): Wäre {x0, y0} = {x1} wahr, so wäre nach (Ext): x0 = x1 = y0 , was der Voraus-
setzung für Fall 2 widersprechen würde. Somit ist die Identität {x0, y0} = {x1, y1} wahr.
Da x0 = x1 , so gilt: {x0, y0} = {x0, y1}. Nach Voraussetzung für Fall 2 ist x0 y0 .
Nach (Ext) ist daher: y0 = y1. QED

Nun wird aber mehrmals das zu beweisende, also dass
(a,b) = {{a},{a,b}}, im Beweis verwendet. Darf man das?

Meine Ideen:
Ich denke nicht. Aber das ist ja irgendwie das Gegenteil von einem Widerspruchsbeweis. Anstatt etwas anzunehmen und zu einem Widerspruch zu kommen, nimmt man etwas an und kommt zu keinem Widerspruch, wobei man jede einzelne Struktur darauf untersuchen müsste, ob keine Widersprüche entstehen.

03.01.2020, 01:24

zweiundvierzig

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Da stimmt einiges nicht.

Das fängt schon mit der Syntax an, da z.B. beim Extensionalitätsaxiom alle Junktoren verlorengegangen sind. Was ist die zweite Fallunterscheidung? $\begin{eqnarray*} x_0 \neq y_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} (a,b)=\{ \{a\}, \{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ ein zu beweisender Satz wäre, dann wäre die Frage: Wie ist $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ definiert? Normalerweise ist nämlich genau dies die Definition von $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ (bzw. eine mögliche Konvention für die Definition).

Was ist die Quelle des Zitierten? In welchem Axiomensystem wird gearbeitet? Sind Paare axiomatisch gegeben? Soll dann etwa gezeigt werden, dass Kuratowskis Definition das entsprechende Identitäsaxiom für Paare erfüllt? In der Logik muss man genau angeben, in welchem Axiomensystem gearbeitet werden soll.

Edit: Und offenbar geht es in dem angegebenen Fragment von etwas, das im früheren Leben vielleicht mal ein Beweis war, auch tatsächlich hierum -- zumindest nach einem gutwilligen Ratespiel:

Zitat:

Soll dann etwa gezeigt werden, dass Kuratowskis Definition das entsprechende Identitäsaxiom für Paare erfüllt?

Der zu beweisende Satz ist also:

Zitat:

Definiert man $\begin{eqnarray*} (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} (a,b)=(c,d) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=d \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ .

Dies ist nicht dieselbe Aussage wie:

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (a,b)=\{\{a\}, \{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ .

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