System von Differentialgleichungen

02.01.2020, 19:49

A.Mot

System von Differentialgleichungen

Hallo allerseits,
Frohes neues Jahr!

Lösen Sie das Differentialgleichungssystem $\begin{eqnarray*} \begin{cases} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \\ |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Mit freundlichen,

A.Mot

03.01.2020, 09:07

klarsoweit

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RE: System von Differentialgleichungen
Hm. Ich weiß ja nicht, woher du diese Aufgabe eingefangen hast, aber mit Blick auf die rechte Seite der 1. Gleichung hast du zwei Möglichkeiten:
a) x² - 3 > 0
b) x² - 3 = 0

Überlege nun, welche Folgerungen sich daraus ergeben.

04.01.2020, 08:06

A.Mot

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RE: System von Differentialgleichungen
Guten Morgen,

Ich verstehe nicht!Wenn $\begin{eqnarray*} x ^ 2-3> 0 \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} 3-x ^ 2 <0 \end{eqnarray*}$ .Wenn $\begin{eqnarray*} x ^ 2-3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ergibt wir die Anzahl der Lösungen des Differentialgleichungssystems....Wie viele Lösungen $\begin{eqnarray*} (f (x), g (x)) \end{eqnarray*}$ ergeben sich aus dem Differentialgleichungssystem?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

04.01.2020, 12:18

Ulrich Ruhnau

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von A.Mot
Lösen Sie das Differentialgleichungssystem $\begin{eqnarray*} \begin{cases} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \\ |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wie man hier erkennen sollte, hat die obere DGL nur Lösungen für $\begin{eqnarray*} x^2-3\ge 0 \end{eqnarray*}$ , während die untere DGL nur Lösungen für $\begin{eqnarray*} x^2-3\le 0 \end{eqnarray*}$ hat.
D.h. Die obere DGL erzählt uns, was bei $\begin{eqnarray*} |x|\ge \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ passiert, während die untere DGL uns erzählt, was bei $\begin{eqnarray*} |x|\le \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ passiert.
Für die obere DGL können wir zwei Fälle unterscheiden.

1. $\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=3-x^2 \end{eqnarray*}$

Unabhängig davon können wir auch für die untere DGL zwei Fälle unterscheiden.

A. $\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=3-x^2 \end{eqnarray*}$
B. $\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$

Mir scheint, daß Fall 1 zu Fall B paßt, sowie Fall 2 zu Fall A. So werden aus vier Fälle zwo. In dem Sinne würde ich hier anfangen, beide verbleibenden Fälle getrennt von einander zu lösen.

05.01.2020, 07:21

A.Mot

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
1. $\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=3-x^2 \end{eqnarray*}$

Unabhängig davon können wir auch für die untere DGL zwei Fälle unterscheiden.

A. $\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=3-x^2 \end{eqnarray*}$
B. $\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$

Mir scheint, daß Fall 1 zu Fall B paßt, sowie Fall 2 zu Fall A. So werden aus vier Fälle zwo. In dem Sinne würde ich hier anfangen, beide verbleibenden Fälle getrennt von einander zu lösen.

Guten morgen,

Warum können nicht alle möglichen Kombinationen gefunden werden, um alle Funktionspaare $\begin{eqnarray*} (f (x), g (x)) \end{eqnarray*}$ zu finden, die sich aus dem Differentialgleichungssystem ergeben?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

06.01.2020, 00:03

Ulrich Ruhnau

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RE: System von Differentialgleichungen
Ich selbst fange langsam an zu zweifeln. Wenn wir für $\begin{eqnarray*} |x|\ge \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der ersten Gleichung finden, wird die zweite Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ nicht mehr erfüllt sein. Und wenn wir für $\begin{eqnarray*} |x|\le \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der zweiten Gleichung finden, wird die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr erfüllt sein. Deshalb glaube ich inzwischen, daß dieses DGL-System keine Lösung hat.

Wo kommt diese bekloppte Aufgabe eigentlich her?

06.01.2020, 06:53

A.Mot

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich selbst fange langsam an zu zweifeln. Wenn wir für $\begin{eqnarray*} |x|\ge \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der ersten Gleichung finden, wird die zweite Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ nicht mehr erfüllt sein. Und wenn wir für $\begin{eqnarray*} |x|\le \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der zweiten Gleichung finden, wird die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr erfüllt sein. Deshalb glaube ich inzwischen, daß dieses DGL-System keine Lösung hat.

Wo kommt diese bekloppte Aufgabe eigentlich her?

Guten morgen,

Überprüfen die folgenden Lösungen das Differentialgleichungssystem?

1) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} + x^2 - 4 x - 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} +x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} - x^2 - 4 x + 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} +x^2 -4 x -11 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} - x^2 +4 x + 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 -4 x +11 \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} + x^2 + 4 x - 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

06.01.2020, 08:48

klarsoweit

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RE: System von Differentialgleichungen
Bevor wir jetzt hier nur rumrätseln, wäre es das Beste, du würdest einfach mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut posten.

Angesichts der Merkwürdigkeit der gegebenen Informationen hatte ich ja schon gleich am Anfang gefragt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß ja nicht, woher du diese Aufgabe eingefangen hast

06.01.2020, 10:09

Ulrich Ruhnau

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von A.Mot
1) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} + x^2 - 4 x - 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} +x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=x^2 - 4 x - 11+2(2x+4)=x^2-3 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\ge 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=2(2x-4)-(x^2 +4 x -11)=3-x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\le 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

2) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} - x^2 - 4 x + 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} +x^2 -4 x -11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=-x^2 - 4 x + 11+2(2x-4)=3-x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\ge 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=2(-2x-4)-(x^2 -4 x -11)=3-x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\le 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

3) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} - x^2 +4 x + 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 -4 x +11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=-x^2 + 4 x + 11+2(-2x-4)=3-x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\ge 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=2(-2x+4)-(-x^2 -4 x +11)=x^2-3 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\le 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

4) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} + x^2 + 4 x - 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=x^2 + 4 x - 11+2(-2x+4)=x^2-3 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\ge 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=2(2x+4)-(-x^2 +4 x -11)=x^2+19 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ keineswegs.

Differentialgleichungen haben meiner Meinung nach nur einen Sinn, wenn es Intervalle gibt, auf denen sie gültig sind. Dieses DGL-System hat aus meiner Sicht heraus keine Lösung.

06.01.2020, 15:32

A.Mot

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von klarsoweitÜberlege nun, welche Folgerungen sich daraus ergeben.

Guten Tag,

Ich habe dieses Problem von einem Freund erhalten.

Mit freundlichen,

A.Mot

06.01.2020, 15:54

A.Mot

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RE: System von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von A.Mot
[quote]4) $\begin{eqnarray*} f(x) = c_2 \sin{\frac{x}{2}} + c_1 \cos{\frac{x}{2}} + x^2 + 4 x - 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x)=x^2 + 4 x - 11+2(-2x+4)=x^2-3 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x^2\ge 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)-g(x)=2(2x+4)-(-x^2 +4 x -11)=x^2+8x+19 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 \end{eqnarray*}$ keineswegs.

Differentialgleichungen haben meiner Meinung nach nur einen Sinn, wenn es Intervalle gibt, auf denen sie gültig sind. Dieses DGL-System hat aus meiner Sicht heraus keine Lösung.

Guten Tag,

Tausende Ausreden!
Anstelle von $\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 +4 x -11 \end{eqnarray*}$ lese $\begin{eqnarray*} g(x) = -c_1 \sin{\frac{x}{2}} + c_2 \cos{\frac{x}{2}} -x^2 +4 x +11 \end{eqnarray*}$ .Vielen Dank!

Ich finde alle vier Lösungen gut!

Mit freundlichen,

A.Mot

06.01.2020, 16:22

HAL 9000

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Ich bringe es nochmal kurz und knapp auf den Punkt:

Für $\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bedeutet die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)|=x^2-3 < 0 \end{eqnarray*}$ , das ist unerfüllbar für einen Betrag.

Für $\begin{eqnarray*} |x|>\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bedeutet die zweite Gleichung $\begin{eqnarray*} |2f'(x)-g(x)|=3-x^2 < 0 \end{eqnarray*}$ , das ist unerfüllbar für einen Betrag.

Das heißt, nur für die beiden isolierten (!) Punkte $\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ besteht überhaupt die Chance, dass die beiden Gleichungen simultan gelten. Da es somit von vornherein kein Lösungsintervall positiver Länge dieses Systems geben kann, ist jede weitere Betrachtung des Systems einfach nur Zeitverschwendung.

07.01.2020, 07:05

A.Mot

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Guten Morgen,

Ich verstehe nicht!Meinen Sie damit, dass die oben angegebenen Funktionspaare $\begin{eqnarray*} (f (x), g (x)) \end{eqnarray*}$ das Differentialgleichungssystem nicht überprüfen?Haben Sie diese Funktionen in das System eingeführt?Was ist das ergebnis?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

07.01.2020, 08:57

HAL 9000

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Hallo? Beträge RICHTIG verarbeiten!

Zitat:

Original von A.Mot
Meinen Sie damit, dass die oben angegebenen Funktionspaare $\begin{eqnarray*} (f (x), g (x)) \end{eqnarray*}$ das Differentialgleichungssystem nicht überprüfen?

Genau das meine ich. Es sieht irgendwie so aus, als würdest du entweder die Betragsstriche auf den linken Seiten der beiden Gleichungen völlig ignorieren, als seien sie schlicht nicht vorhanden, d.h., als ginge es stattdessen um das System

$\begin{eqnarray*} f(x)+2g'(x) &=& x^2-3\\ 2f'(x)-g(x) &=& 3-x^2 \end{eqnarray*}$ ,

oder womöglich betrachtest du aber auch das System

$\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)| &=& |x^2-3|\\ |2f'(x)-g(x)| &=& |3-x^2|\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Dass deine f,g dieses ANDERE System (*) erfüllen, bezweifle ich gar nicht.

Beides steht oben aber nicht da, sondern eben

$\begin{eqnarray*} |f(x)+2g'(x)| &=& x^2-3\\ |2f'(x)-g(x)| &=& 3-x^2 \end{eqnarray*}$ ,

und hier verhindern die Betragsstriche auf den linken Seiten in Kombination mit den FEHLENDEN Betragsstrichen auf den rechten Seiten, dass dieses System eine Lösung hat - lies dir einfach mal meinen letzten Beitrag ohne Scheuklappen durch!

07.01.2020, 10:42

klarsoweit

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RE: Hallo? Beträge RICHTIG verarbeiten!
Mit anderen Worten: es wird ja nicht bezweifelt, daß die genannten Lösungen beispielsweise die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x) + 2g'(x) = x^2-3 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Dann aber purzeln wie von Geisterhand Betragsstriche vom Himmel und es wird gesagt $\begin{eqnarray*} |f(x) + 2g'(x)| = |x^2-3| = x^2-3 \end{eqnarray*}$ . Das stimmt aber nur für eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Ich hoffe mal, daß unsere Gegenargumente langsam ernst genommen und nicht einfach als Ausreden bezeichnet werden.

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