Differenzierbarkeit von |f|

03.01.2020, 09:03

beispielname

Differenzierbarkeit von |f|

Meine Frage:
F ist differenzierbar in x0, f(x0)=0.
Zeige genau wenn |f| in x0 differnzierbar ist gilt f'(x0)=0

Meine Ideen:
Wegen der Aufgabenstellung gilt lim(f(x0+h)-f(x0))/h=lim f(x0+h)/h
f'(x0)=0 -> lim f(x0+h)/h=0
|f(x0+h)|=f(x0+h) für x0+h=>0 oder -f(x0+h) für x<0
für x0+h=>0 ist grenzwert wieder 0
für x0+h<0: lim -f(x0+h)/h= lim (-1) * lim -f(x0+h)/h= -1*0= 0

|f| differenzierbar in x0, sei f'(x0)=a -> für (x0+h)=>0 -> lim |f(x0+h)|/h=a
für (x0+h)<0 -> lim -f(x0+h)/h= -a
a=-a -> a=0

03.01.2020, 10:16

Leopold

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RE: differenzierbarkeit von |f|
Bitte verwende Latex, damit man deine Formeln besser lesen kann. (Immerhin bist du mindestens bemüht, richtige Klammern zu setzen.)

Zitat:

Original von beispielname
|f(x0+h)|=f(x0+h) für x0+h=>0 oder -f(x0+h) für x<0

Ab dieser Zeile ergibt das für mich keinen Sinn mehr. Irgendwie herrscht hier Konfusion bezüglich Ein- und Ausgaben der Funktion. Der Rest deiner Argumentation ist daher hinfällig.

Bringe die beiden Differenzenquotienten, den für $\begin{align*} f \end{align*}$ und den für $\begin{align*} |f| \end{align*}$ , in einen Zusammenhang. Sei also $\begin{align*} h \neq 0 \end{align*}$ dem Betrage nach genügend klein:

$\begin{align*} \frac{\left| \, f \left( x_0 + h \right) \, \right| - \left| \, f \left( x_0 \right) \, \right|}{h} \ = \ \frac{\left| \, f \left( x_0 + h \right) \, \right|}{h} \ = \ \frac{\left| \, f \left( x_0 + h \right) \, \right|}{|h|} \cdot \frac{|h|}{h} \ = \ \left| \, \frac{f \left( x_0 + h \right)}{h} \, \right| \cdot \frac{|h|}{h} \end{align*}$

Bisher wurde nur $\begin{align*} f \left( x_0 \right) = 0 \end{align*}$ vorausgesetzt, und zwar gleich am Anfang. Jetzt gehe von dieser Gleichung aus und interpretiere sie im Blick auf beide Richtungen der zu beweisenden Behauptung.

03.01.2020, 11:10

Beispielname

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ist das so richtig?
wenn $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ ist gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} | \frac{f(x0+h)}{h}| * \lim_{h \to 0} \frac{| h | }{h}= \lim_{h \to 0-} | \frac{f(x0+h)}{h} | * \lim_{h \to 0-} \frac{| h | }{h} = \lim_{h \to 0-} | \frac{f(x0+h)}{h} | * (-1) = \lim_{h \to 0+} | \frac{f(x0+h)}{h} | * \lim_{h \to 0+} \frac{| h | }{h}= \lim_{h \to 0 } | \frac{f(x0+h)}{h} | * 1 \lim_{h \to 0} | \frac{f(x0+h)}{h}|=\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)}{h} für \frac{f(x0+h)}{h}\geq 0 \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)}{h} *1 = \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)}{h} *(-1) \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

03.01.2020, 11:52

Leopold

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Warum bringst du so viele verschiedene Ansätze in einer riesigen Gleichungskette unter? Da geht völlig die Übersicht verloren, was jeweils gerade vorausgesetzt ist. Auch kannst du Grenzwertregeln nur anwenden, wenn die Grenzwerte existieren. Du kannst nicht $\begin{align*} h \to 0 \end{align*}$ schreiben, woraus später plötzlich die Fallunterscheidung $\begin{align*} h \to 0+ \end{align*}$ oder $\begin{align*} h \to 0- \end{align*}$ wird. Du mußt solche Fallunterscheidungen vorher voraussetzen und getrennt vorgehen.

Ich helfe einmal bei einer Richtung. Zunächst noch einmal die Gleichung, die für alle $\begin{align*} h \neq 0 \end{align*}$ gilt, die dem Betrage nach genügend klein sind:

$\begin{align*} \color{blue} \frac{\left| \, f \left( x_0 + h \right) \, \right| - \left| \, f \left( x_0 \right) \, \right|}{h} \color{black} = \left| \, \color{red} \frac{f \left( x_0 + h \right) - f \left( x_0 \right)}{h} \color{black} \, \right| \cdot \frac{|h|}{h} \end{align*}$

Ich habe ganz zum Schluß im Zähler noch $\begin{align*} \color{red} - f \left( x_0 \right) \end{align*}$ ergänzt, was ja voraussetzungsgemäß gleich 0 ist. Der blaue Term ist der Differenzenquotient von $\begin{align*} F=|f| \end{align*}$ , der rote der von $\begin{align*} f \end{align*}$ an der Stelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ . Nach der Grundvoraussetzung der Aufgabe gilt wegen der Differenzierbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \color{red} \lim_{h \to 0} \frac{f \left( x_0 + h \right) - f \left( x_0 \right)}{h} = f' \left( x_0 \right) \end{align*}$

Über den Wert von $\begin{align*} f' \left( x_0 \right) \end{align*}$ ist in den Grundvoraussetzungen nichts bekannt, wohl aber in der zu beweisenden Äquivalenz. In der einen Richtung wird nämlich $\begin{align*} f' \left( x_0 \right) = 0 \end{align*}$ vorausgesetzt. Und das wollen wir jetzt einmal tun.

die eine Richtung: Zusatzvoraussetzung $\begin{align*} f' \left( x_0 \right) = 0 \end{align*}$

Der rote Differenzenquotient ganz oben strebt also gegen 0. Die Betragsstriche um ihn herum ändern an diesem Grenzwert nichts (denn wenn etwas gegen 0 strebt, dann auch sein Betrag). Bleibt noch das ärgerliche $\begin{align*} \frac{|h|}{h} \end{align*}$ . Dieser Ausdruck ist aber entweder +1 oder -1. Damit gilt:

$\begin{align*} \underbrace{\left| \, \frac{f \left( x_0 + h \right) - f \left( x_0 \right)}{h} \, \right|}_{\to \ 0} \ \cdot \ \underbrace{\frac{|h|}{h}}_{= \pm 1} \ \to \ 0 \ \ \ \mbox{für} \ \ h \to 0 \end{align*}$

Damit ist wegen der Gleichung ganz zu Anfang gezeigt:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, f \left( x_0 + h \right) \, \right| - \left| \, f \left( x_0 \right) \, \right|}{h} = 0 \end{align*}$

Folglich ist $\begin{align*} F=|f| \end{align*}$ bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ differenzierbar, und es gilt: $\begin{align*} F' \left( x_0 \right) = 0 \end{align*}$

Damit wäre die eine Richtung gezeigt. Für die andere Richtung würde ich vorschlagen, mit der Kontraposition zu arbeiten.

die andere Richtung: Zusatzvoraussetzung $\begin{align*} f' \left( x_0 \right) \neq 0 \end{align*}$

Jetzt mußt du zeigen, da $\begin{align*} F = |f| \end{align*}$ bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ nicht differenzierbar ist. Führe dazu eine Fallunterscheidung $\begin{align*} h \to 0- \end{align*}$ oder $\begin{align*} h \to 0+ \end{align*}$ durch. Aber bitte nicht wieder alles in einer Gleichungsorgie zusammenquetschen, sondern eins nach dem andern.

03.01.2020, 12:48

beispielname

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danke für die mühe!
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h)}{h} =a>0\Rightarrow \lim_{h \to 0-} |\frac{f(x0+h)}{h}| *\frac{|h|}{h} =-a \lim_{h \to 0+} |\frac{f(x0+h)}{h}| *\frac{|h|}{h}=a a\neq -a \end{eqnarray*}$
für a<0 sind dann die vorzeichen einfach vertauscht
da links und rechtssseitiger grenzwert ungleich sind ist die funktion in x0 nicht differenzierbar

03.01.2020, 13:07

Leopold

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So stimmt's. Nur solltest du um deine Umformungen herum kommentierende Texte schreiben. Das ist besserer Beweisstil, als mit Pfeilen herumzuwerfen. Ich zeige dir einmal, was ich meine.

Sei nun $\begin{align*} a = f' \left( x_0 \right) \neq 0 \end{align*}$ .
Für $\begin{align*} h>0 \end{align*}$ schließen wir: ...
Für $\begin{align*} h<0 \end{align*}$ schließen wir: ...
Da die Grenzwerte für $\begin{align*} h \to 0+ \end{align*}$ und für $\begin{align*} h \to 0- \end{align*}$ nicht übereinstimmen, ...

Eine Fallunterscheidung $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ ist übrigens für den Beweis nicht erforderlich. Denn $\begin{align*} |a| \end{align*}$ und $\begin{align*} - |a| \end{align*}$ , auf die es bei der Rechnung hinausläuft, haben auf jeden Fall unterschiedliches Vorzeichen.

03.01.2020, 13:12

beispielname

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gut, danke für die hilfe

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