Sinusfunktion

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BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »
Sinusfunktion
Meine Frage:
Wie berechnet man ?

Meine Ideen:
Geschicktes Anwenden der Additionstheoreme?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinusfunktion
Additionstheorem wäre schon mal eine Möglichkeit, da
Die dazugehörigen Werte von Sinus und Cosinus gehören zum erweiterten Grundwissen.
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinusfunktion
Danke für die schnelle Antwort! Dann müsste ich aber erst beweisen, was ist, und da beginnen meine Probleme (dass ist, konnte ich mittels der Additionstheoreme beweisen). Ich darf keinen Wert als gegeben voraussetzen...
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinusfunktion
Ich glaube, man soll die Formel verwenden, kannst du mir hierbei bitte jemand helfen? Wie geht es weiter?


klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinusfunktion
Ach so. Dann gebe ich hier vorläufig an die Kollegen ab, da ich zwischendurch zeitweise abwesend bin und den für Dich passenden Vor-Beweis erst beschaffen müßte.
Hängt natürlich von Deinen Vorgaben und Deinem bisherigen Vorgehen ab (ich als Praktiker darf alle Werte voraussetzen).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Grundlinie 1. Das kann man mit dem Pythagoras rechnen, gilt also als allgemein bekannt.
 
 
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Na schön, wenn der King of Rock'n'Roll das höchstpersönlich unterschreibt, dann werde ich das so machen! Danke an euch beide ! Freude
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sin(pi/3) die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Grundlinie 1 ist, weiß man einfach so, oder kann ma sich das irgendwie erschließen?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinusfunktion
.
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so! h ist die Gegenkathete zum Wnkel alpha = 60°, und deswegen müssen wir h berechnen. Okay! Vielen Dank, klauss!!! Mit Zunge Und danke Elvis! Jetzt habe ich es verstanden, und sehe mich in der Lage, die Aufgabe zu lösen.

Noch mal eine etwas grundsätzlichere Frage. Nehmen wir mal ein Dreieck mit rechtem Winkel. Sei dieser Winkel. Dann muss ja gelten


.


Aber was ist die Gegenkathete bzw. die Hypotenuse, wenn wir vom rechten Winkel ausgehen? Ist dann Gegenkathete = Hypotenuse ? Das ist die einzige Möglichkeit, die ich sehe, damit sin(90°) = 1 erfüllt ist.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hypothenuse ist definitiv gegenüber dem rechten Winkel und ist keine Kathete.

Ergänzung: Für = 90° fallen Gegenkathete und Hypothenuse zusammen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um nicht mißverstanden zu werden: Auch ich bin der Auffassung, daß Sinus und Cosinus von und elementargeometrisch begründet werden sollten. Früher war das Grundwissen in der Schule. Heute sollten zumindest interessierte Schüler das kennen. Man kann aber, falls das gewünscht ist, auch beinahe ohne Geometrie auskommen. Lediglich die ungefähre Lage der jeweiligen Zahlen in der Gaußschen Zahleneben muß man sich vorstellen können. Grundsätzlich folge ich der Idee von klauss: .


1. Beginnen wir mit . Hierfür gilt: . Damit ist eine Nullstelle des Polynoms . Offenbar hat auch -1 als Nullstelle. Man kann folglich den Linearfaktor abspalten und erhält: . Damit ist eine Lösung der Gleichung , und zwar, da das Argument in den I. Quadranten führt, diejenige Lösung mit positivem Imaginärteil.


2. Nun zu . Hierfür gilt ebenfalls . Daher ist Nullstelle des Polynoms . Das kann man mit einem kleinen Trick auch reell faktorisieren. Man schreibt es als Differenz zweier Quadrate und verwendet die dritte binomische Formel:



Die beiden quadratischen Faktoren liefern vier Nullstellen von . Da im I. Quadranten liegt, ist diejenige Nullstelle mit positivem Real- und positivem Imaginärteil.


3. Nachdem man nun und allein mittels Lösen quadratischer Gleichungen bestimmt hat, führt man das Ganze zu Ende. Für gilt:



Und trennt man das Ergebnis für in Real- und Imaginärteil, hat man sowohl als auch .

Falls also BreeSinus Interesse hat, kann er nach dem elementargeomterischen Weg auch diesen einmal einschlagen.
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke!!!! Werde mir deine Rechung spätee noch mal in Ruhe anschauen smile . Aber könnt ihr mir bitte kurz noch hierbei helfen?

Es ist ja . Ist dies so, weil wenn wir in einem rechtwinkligem Dreieck vom rechten Winkel ausgehen, es überhaupt keine Ankathete gibt?
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche wir anhand von Dreiecken, also geometrisch, klarzumachen, dass und . Aber leider will es nicht so ganz. Wenn es in einem rechtwinkligen Dreieck keine Ankathete gibt, dann müsste doch undefiniert sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]50344[/attach]

Du kannst das als Grenzfall ansehen, bei dem das Dreieck zwei rechte Winkel und einen 0°-Winkel besitzt.

In der Figur hat die Hypotenuse die Länge 1. Der Cosinus von ist somit gerade die Länge der Strecke . Um die Hypotenuse ist ein Thales-Halbkreis gezeichnet. Wenn sich auf diesem auf zubewegt, wird immer mehr zu einem 90°-Winkel, und die Länge der Strecke strebt auf 0 zu. Im Grenzfall ist das Ziel erreicht, und man erkennt: .
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so! Jetzt wird mir einiges viel klarer!!! Vielen Dank Mit Zunge Gut, dass es solche Foren gibt
BreeSinus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso ist ? Wie kann man sich das geometrisch veranschaulichen, also anhand eines Dreiecks?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für Winkel außerhalb des Intervalls greift man besser auf die Definition am Einheitskreis zurück.

P.S.: Nur mit Dreiecken und dort dann positiven Seitenlängen allein dürfte es schwer fallen, negative Werte der trigonometrischen Funktionen zu erklären.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Für Winkel außerhalb des Intervalls greift man besser auf die Definition am Einheitskreis zurück.


Dort finden auch die Werte in den Entartungsfällen für 0° und 90° eine natürliche Erklärung, ohne daß man auf einen Grenzprozeß wie in meinem vorigen Beitrag zurückgreifen müßte.
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