Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion

03.01.2020, 21:20

KonverDiv

Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion

Guten Abend,

Es ist $\begin{eqnarray*} u(t) = 1, t \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(t), t \geq 0 \end{eqnarray*}$
Ich möchte nun die Faltung dieser Signale berechnen.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{t}^{\infty} \! 1\cdot\cos(\tau) \, d\tau \end{eqnarray*}$

hierbei wurde das Faltungsintegral verwendet. Wenn ich das bestimmte Integral nun berechne, erhalte ich folgende "Lösung":

$\begin{eqnarray*} \sin(\infty) - \sin(t) \end{eqnarray*}$

Meine Frage, ist das richtig gerechnet? Zweite Frage: Wenn ich das zeichnen müsste, wie würde man dann vorgehen? Das $\begin{eqnarray*} \sin(\infty) \end{eqnarray*}$ verwirrt mich hierbei...

03.01.2020, 22:12

Finn_

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Ja, komme auch auf
$\begin{eqnarray*} (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t)g(x-t)\,\mathrm dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty}^\infty \cos(t)[t\ge 0][\underbrace{x-t\le 0}_{t\ge x}]\,\mathrm dt = \int_x^\infty\cos(t)\,\mathrm dt = [\sin t]_{x}^\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{a\to\infty} (\sin a-\sin x). \end{eqnarray*}$
Der Ausdruck ist divergent für $\begin{eqnarray*} a\to\infty \end{eqnarray*}$ . Siehe Definition von uneigentliches Integral.

05.01.2020, 12:35

KonverDiv

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Ah das ist gut, dass du meine Rechnung bestätigen kannst smile

Aber wie darf ich jetzt damit umgehen?

In Wolframalpha habe ich mir das ebenfalls mal falten lassen und WA spuckt als Ergebnis nur den $\begin{eqnarray*} -\sin(t) \end{eqnarray*}$ Teil aus....

05.01.2020, 12:46

IfindU

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RE: Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion
Was willst du denn überhaupt falten? Für mich klingt es so als ob du bisher eine Funktion hast.

05.01.2020, 20:34

KonverDiv

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RE: Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion
Ich habe eine Sprungfunktion u(t) (die ist 1 für t <= 0) und einen cos(t) (für t >= 0) das möchte ich gerne falten. Meine Rechnung wurde ja schon von Finn_ bestätigt ich bin mir auch relativ sicher, dass das richtig ist. Allerdings weiß ich das Resultat nicht richtig zu interpretieren...

06.01.2020, 07:30

IfindU

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RE: Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion
Und ansonsten sind beide Funktionen 0? Wenn ja, dann ist die Faltnug nicht definiert.

Ansonsten ist die Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } t \leq 0 \\ \cos(t) &\text{ falls } t \geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ wohldefiniert und stetig. Sicher, dass es sich hier nicht um ein Missverständnis handelt?

06.01.2020, 10:37

Mathe-Novize

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RE: Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion

Zitat:

Original von KonverDiv
Ich habe eine Sprungfunktion u(t) (die ist 1 für t <= 0) und einen cos(t) (für t >= 0) das möchte ich gerne falten. Meine Rechnung wurde ja schon von Finn_ bestätigt ich bin mir auch relativ sicher, dass das richtig ist. Allerdings weiß ich das Resultat nicht richtig zu interpretieren...

Nunja, eine mögliche Interpretation wäre diese:
Du hast ein System (elektrisch, mechanisch, was auch immer), das bei einer externen Anregung mit der Amplitude 1 (deine Sprungfunktion) mit einer periodischen Schwingung (deine Kosinusfunktion) reagiert (Stichwort: Systemantwort). Und da das Signal mit Amplitude 1 unendlich lange anliegt, schwingt auch dein System unendlich lange und du erhältst ein sogenanntes Leistungssignal im Ergebnis.

Dass uns hier ein wenig die Intuition fehlt liegt natürlich daran, dass wir in der Realität keine Systeme haben, die unendlich lange irgendwas machen, denn dafür müssten wir ihnen unendlich lange Energie zuführen, was wir nicht können.

06.01.2020, 21:21

KonverDiv

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RE: Faltung Abschnittsweise cos(x) und Sprungfunktion

Zitat:

Original von IfindU
Und ansonsten sind beide Funktionen 0? Wenn ja, dann ist die Faltnug nicht definiert.

Ansonsten ist die Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } t \leq 0 \\ \cos(t) &\text{ falls } t \geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ wohldefiniert und stetig. Sicher, dass es sich hier nicht um ein Missverständnis handelt?

Nein das ist nicht richtig. Folgendes ist richtig:
$\begin{eqnarray*} u(t) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } t \leq 0 \\ 0 &\text{ sonst. } \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(t) = \begin{cases} \cos(t) & \text{ falls } t \geq 0 \\ 0 &\text{ sonst. } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich möchte die Faltung berechnen also:

$\begin{eqnarray*} u(t) * x(t) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis davon ist, wie Finn_ richtig gesagt hat:

$\begin{eqnarray*} u(t) * x(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty}^\infty \cos(t)[t\ge 0][\underbrace{x-t\le 0}_{t\ge x}]\,\mathrm dt = \int_x^\infty\cos(t)\,\mathrm dt = [\sin t]_{x}^\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{a\to\infty} (\sin a-\sin x) \end{eqnarray*}$

-----------------------------

Zitat:

Original von Mathe-Novize

Zitat:

Ah schöne Erklärung! Das ist eine eher E-Technik lastige Antwort, aber ich weiß zumindest etwas damit anzufangen!

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