Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen

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Max11235811 Auf diesen Beitrag antworten »
Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen
Meine Frage:
Hey, ich habe einige coole Aufgaben zu unendlichen Mengen. Ich bin mir aber leider unsicher mit der Notation. Wäre super nett, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet. Kurze (zielführende) Hinweise reichen. Danke schon mal im Voraus!

Ich poste hier die Aufgaben (für den Kontext) und unten meine Lösungen.
1. Sei M eine unendliche Menge. Zeigen Sie, dass es eine abzählbar unendliche Menge gibt gibt, so dass zu M gleichmächtig ist.

2. abzählbare Mengen. Entscheiden Sie ob B abzählbar oder überabzählbar ist (mit Beweis).

3. Wir betrachten n abzählbare Mengen
Entscheiden sie ob A abzählbar oder überabzählbar ist (mit Beweis).

Meine Ideen:
1. Es gibt 2 Fälle:

Fall 1: M ist unendlich abzählbar: Hier nur eine kurze Frage. Kann man schreiben?:

Fall 2: M ist unendlich überabzählbar: Dann müssen wir das Auswahlaxiom verwenden. Nach diesem können wir ein beliebiges Elemnt aus M wählen. Da M überabzählbar ist, ist immer noch überabzählbar. D.h. wir können diesen Prozess itterieren. Sei C die Auswahlfunktion, die ein beliebiges Element aus M aussucht. Wir definieren induktiv die Folge:
Sei die Folge bis n schon konstruiert, dann wählen wir als n+1. Folgeglied:

Dann definieren wir Damit haben wir eine abzählbar unendliche Teilmenge von M. Es gilt:
- Hierzu ist meine Frage, ob ich das mit der Auswahlfunktion so schreiben kann, dass die Menge auf eine natürliche Zahl abbildet?! Außerdem würde ich gerne wissen, ob das so ok ist, dass man die Menge als Folge definiert.


2. Wir verwenden die cantorsche Paarungsfunktion, die das Diagonalverfahren quantitativ beschreibt. Wir bilden keine wirklichen Paarung von Elementen, sondern von erstem und zweitem Index. Für bessere Übersichtichkeit definieren wir
. Wenn wir jede Paarung auf eine natürliche Zahl abbilden, wird jedes Element der Vereinigung auf eine natürliche Zahl abgebildet:
Hier meine Frage: Kann man schreiben: Oder wie soll man das ausdrücken, dass man das kartesische Produkt des ersten und zweiten Index nimmt? Und außerdem die Frage: Hier bilden ja evtl gleiche Elemente auf unterschiedliche Zahlen ab. Wir haben eine Abbildung von allen Elementen auf die natürlichen Zahlen, aber nicht wirklich von der Vereinigung. Ist das ok? Oder wie kann man das "besser" machen?
Wie kann man die Bijektivität dieser Funktion beweisen? Habe das noch nie mit 2 Variablen gemacht.

3.Da abzählbar ist, gibt es zwei Fälle:
Fall 1: ist endlich
Fall 2: ist abzählbar unendlich
D.h. es existiert eine Bijektion von auf die Elemente der Menge (bzw. es existiert eine Folge). Daher können wir die Menge schreiben als:
Um zu zeigen, dass das kartesische Produkt aus zwei unendlich abzählbaren Mengen abzählbar ist, reicht es also den zweiten Index von Zwei Mengen zu betrachten (man zeigt also quasi, dass abzählbar ist).
Um dies zu tun, verwendet man wieder die Cantorsche Paarungsfunktion .
Um es auf zu erweitern, definiert man induktiv:
Sei die Bijektion schon konstruiert.



So wird jedem Tupel genau eine natürliche Zahl zugeorndet. Damit ist die Menge abzählbar.
- Hier einfach meine Frage ob das von der Notation so ok ist?
Max11235811 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen
3. stimmt nicht. Das änder ich nochmal.
 
 
Max11235811 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen
Ok jetzt steht da zumindest das was ich meinte
Max11235811 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen
Ich hätte bei 2. schreiben sollen
Max11235811 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auswahlfunktion, Abzählbare Mengen
Kann mir da irgendeiner Rückmeldung geben?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungsgedanken zu 1) sind mir etwas verworren dargestellt, die Begründung des eigentlichen Ziels vermag ich aber gar nicht so richtig zu erkennen.

Warum nicht einfach so: Nach Auswahlaxiom können wir eine Folge paarweise verschiedener Elemente aus auswählen. Wir wählen nun einfach und als Bijektion nimmt man einfach

.


2) und 3) habe ich mir (noch?) nicht angeschaut.
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