Komplexer Vektorraum

06.03.2007, 20:45

moinmoin

Komplexer Vektorraum

Moin zusammen! Wink

folgendes bereitet mir Kopfzerbrechen:

Sei U ein Teilraum mit

$\begin{eqnarray*} U = LH\{a, b\} \subseteq \mathbb C², a = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Frage: Welche Dimension hat $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ?

Mein Ansatz war zu untersuchen, ob die Vektoren linear unabhängig sind:

$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das führt zu

$\begin{eqnarray*} k_1 - k_2i = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 + k_1i = 0 \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} k_1 = k_2i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} k_2 + k_2i*i = 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} k_2 - k_2 = 0 \end{eqnarray*}$

das bedeutet doch, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind, dass also der eine durch den anderen dargestellt werden könnte.

$\begin{eqnarray*} -i\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} i\begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit wäre die Dimension 1, also eine Gerade. Klingt logisch. stimmt das auch?! wenn ja, welche Gerade wäre das?!

wenn ich eine Linearkombination mit zwei konkreten Werten $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ durchführe, dann erhalte ich einen Vektor, der als Koordinaten jeweils zwei komplexe Zahlen hat, deren Vektoren (wenn ich sie auf die komplexe Zahlenebene auftrage) immer senkrecht zueinander stehen..... verwirrt

wie kann ich mir das vorstellen?! bei $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das noch recht anschaulich. Eine Ebene oder eine Gerade als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ bzw. eine Gerade als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R² \end{eqnarray*}$ ist klar. Sollte ich mir $\begin{eqnarray*} \mathbb C² \end{eqnarray*}$
dreidimensional vorstellen, da ja $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ im Prinzip schon zweidimensional ist?!

Kann mir hier jemand helfen?!

06.03.2007, 22:20

Mazze

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Zitat:

Somit wäre die Dimension 1, also eine Gerade. Klingt logisch. stimmt das auch?!

Jap die Dimension ist 1.

Zitat:

wenn ja, welche Gerade wäre das?!

Nun Du könntest Die Gerade ganz plump hinschreiben. Wähle Dir einfach einen der beiden Vektoren , eine mögliche Ausdrucksform wäre etwa:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Sollte ich mir $\begin{eqnarray*} \mathbb C² \end{eqnarray*}$

Man kann jeden C-VR der dimension n als R-VR der Dimension 2n betrachten. Das heißt wenn Du Dir den $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ geometrisch vorstellen möchtest, dann stell Dir den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ vor. Naja, da gibt es nicht viel Vorzustellen Augenzwinkern

. Zumindest nicht geometrisch.

06.03.2007, 23:12

vektorraum

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RE: Komplexer Vektorraum

Zitat:

Hi!

Ich würde mit dem vorstellen in der Algebra aufhören, sobald es in den Bereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ geht.
Der vierdimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ mit der Standardbasis

$\begin{eqnarray*} 1=e:=(1,0,0,0);~i:=(0,1,0,0),~j:=(0,0,1,0),~k:=(0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

wird Zahlenbereich der Quaternionen genannt, und mit $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Leider muss man bei diesen "hyperkomplexen" Zahlen auf das Kommutativitätgesetz verzichten.

Die von $\begin{eqnarray*} i,j,k \end{eqnarray*}$ aufgespannte Quaternionen nennt man rein imaginär. Hamilton (ihr Entdecker) bezeichnete diese als Vektoren. Die Koordinaten der vektoriellen Quaternionen deutete er als räumliche Koordinaten, die vierte (in Richtung $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ) als Zeit. Das ist bei den Physikern auch heute noch so.

Aber Vorstellung???

07.03.2007, 11:18

moinmoin

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Zitat:

mit meiner wohl hier komplett unzureichenden Vorstellungskraft waren für mich die beiden Geraden

$\begin{eqnarray*} \vec{x_1} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} = \kappa \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zwei verschiedene... Sie beschreiben aber anscheinend ein und die selbe Gerade. Das hat mich verwirrt. Danke Mazze

Bei komplexen Zahlen, die für mich sowieso nur in der Elektrotechnik nützlich sind, bin ich immer vorsichtig. Und wenn auch noch ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C² \end{eqnarray*}$ Vektorraum zu untersuchen ist... da ist doppelte Vorsicht geboten

Zitat:

Man kann jeden C-VR der dimension n als R-VR der Dimension 2n betrachten.

das hätte ich mir denken können...

nunja man lernt immer dazu.

Bei der Namenswahl für dieses Thema war es wohl unumgänglich, dass der Vektorraum höchstpersönlich die Bühne betritt, und mein eh schon zermartertes Hirn (im Moment gehts bei mir um lineare codes) mit hyperkomplexem und Quaternionen anreichert... Augenzwinkern

klingt aber interessant... wenn ich mal Zeit haben sollte...

Danke Euch beiden für eure Beiträge!!

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