Kehrwertsatz von (Null-)Folgen: Grenzwert Beweis

04.01.2020, 21:25

PeMep

Kehrwertsatz von (Null-)Folgen: Grenzwert Beweis

Sehr geehrtes Matheboard,

Meine Aufgabe ist folgende:

Man soll zeigen, dass bei einer gegebenen Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , welche gegen +oder - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bestimmt divergiert, der Kehrwert der Folge eine Nullfolge ist, also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_{n}} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich wollte mal wissen ob mein Ansatz der richtige ist. Solche Aussagen verstehe ich oft, aber es fällt mir sehr schwer so etwas mathematisch korrekt auszudrücken und zu beweisen, deshalb habt etwas Nachsicht falls ich irgendeinen unsinnigen Schritt gemacht habe Freude

Mein Ansatz (für $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ):

Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine nach + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bestimmt divergierende Folge. Das bedeutet, zu jedem $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a_{n} > K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

Da k beliebig ist, definiere ich K := $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
Also gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} > K \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{K} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Damit gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Kann dieser Beweis so funktionieren? Da ja schon feststeht, dass K beliebig sein kann dachte ich, dass man es so in beziehung zu Epsilon festsetzen kann, da man ja den Beweis für Epsilon beliebig durchführen muss. Im Endeffekt bedeutet dies, dass man für jedes Epsilon ein N findet sodass die Folgenglieder n>=N innerhalb des "Epsilonschlauches" liegen oder übersehe ich hierbei ein Problem? Ich wäre sehr dankbar über die richtige Lösung dieses Problems, das war die beste die ich aufbringen konnte.

Einen schönen Abend noch! smile

Gruß,
P

05.01.2020, 08:02

Ulrich Ruhnau

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RE: Kehrwertsatz von (Null-)Folgen: Grenzwert Beweis

Zitat:

Original von PeMep
Damit gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Kann dieser Beweis so funktionieren? P

Meiner Meinung nach ist alles richtig, nur der Abschluss nicht. Es muß heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{a_{n}} < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

oder besser noch

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\;\exists \;N\;\forall \,n\geq N:\frac{1}{a_n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ also existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_{n}} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem würde ich $\begin{eqnarray*} K\in \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ beliebig lassen und das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ nach dem $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ definieren also $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac 1K \end{eqnarray*}$ , denn so wird das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ auch beliebig.

05.01.2020, 14:59

PeMep

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RE: Kehrwertsatz von (Null-)Folgen: Grenzwert Beweis
Natürlich! Muss selbstverständlich 1/an < Epsilon sein, war schon spät habe das wohl verpeilt ^^

Vielen dank für die ausführliche Antwort, jetzt ist es mir klar.

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