Potenzreihenentwicklung vs. Laurentreihenentwicklung

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenentwicklung vs. Laurentreihenentwicklung
Mal angenommen ich hätte eine holomorphe Funktion f(z) die in 0 eine isolierte Singularität aufweist, ansonsten aber auf dem Kreis mit Radius R > 0 um 0 holomorph sei. R sei hinreichend groß. Um diesen Punkt kann ich f in eine Laurentreihe, nicht aber in eine Potenzreihe entwickeln. Wieso kann ich aber nicht f(z) um mit in der offenen Umgebung in eine Potenzreihe entwickeln? Dies ist eine offene Umgebung auf der f(z) holomorph ist. Dann ist es auch in eine Potenzreihe entwickelbar.

Nun kann ich doch weitere Punkte auf einem Kreis um 0 mit Radius platzieren. Für jeden dieser Punkte erzeuge ich eine gleiche Umgebung wie oben. Auch dort kann ich f(z) in eine Potenzreihe entwickeln. Wenn ich entsprechend viele Punkte gleichmäßig auf einem Kreis um den Ursprung platziere kann ich so doch f(z) in in eine Potenzreihe entwickeln (wegen des Identitätssatz muss bei Überlappung, die kann ich immer erreichen, der Umgebungen um die Potenzreihenentwicklung identisch sein).

Dann aber wäre f(z) doch in eine Potenzreihe entwickelbar. Irgendwo scheint ein Haken zu sein. Welche Bedingung habe ich übersehen? Ich bin gerade nochmal die Voraussetzungen für die Potenzreihenentwicklung durchgegangen und kann keinen Fehler finden.

Ich freue mich auf eure Antworten smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihenentwicklung vs. Laurentreihenentwicklung
Der Fehler in der Logik ist, dass der Konvergenzradius auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius größer als Epsilon ist.

Je näher du um den Nullpunkt entwickelst, desto kleiner wird der Konvergenzradius.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja, da hatte ich den Potenzreihenentwicklungssatz falsch verstanden. Aber meiner Meinung nach klärt es das ganze immernoch nicht auf.

Zitat:
Je näher du um den Nullpunkt entwickelst, desto kleiner wird der Konvergenzradius.

Aber ich kann doch beliebig nahe an die Null herangehen und auf Grund der Holomorphie von f(z) die Funktion dort in eine Potenzreihe entwickeln mit positivem Konvergenzradius. Der mag sehr klein sein, aber ist nach Satz größer als Null. Wenn ich nun eine offene Umgebung um Null (ohne die Null) betrachte und dort f(z) in eine Laurentreihe entwickle, so hat diese Entwicklung auch einen positiven Konvergenzradius. Wieso kann ich nun nicht einen Punkt ungleich Null nehmen, für den die Laurentreihe konvergiert, und genau um diesen Punkt die Potenzreihenentwicklung von f(z) betrachten. Die hat wieder einen positiven Konvergenzradius. Dann aber müsste doch die Potenzreihenentwicklung gleich der Laurentreihenentwicklung sein. Das kann nur der Fall sein, wenn der Hauptteil Null ist. Dafür ist es doch unerheblich, ob der Konvergenzradius immer kleiner wird.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324
Dann aber müsste doch die Potenzreihenentwicklung gleich der Laurentreihenentwicklung sein.


Wer sagt das?

Beispiel: . Um 0 entwickelt ist es bereits die Laurantreihe mit unendlichem Konvergenzradius. Wenn du um 1 entwickelst, erhälst du . Die Reihe hat Konvergenzradius 1 und nicht identisch mit der vorigen.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, es stellen doch beide die Funktion dar. Dann muss doch Laurentreihe = Potenzreihe gelten. Für |(1-z)| < 1 sind beide Darstellungen identisch, wenn man die geometrische Reihendarstellung verwendet erhält man exakt 1/z. Hier zeigt sich meiner Meinung nach genau was ich meine.
Wieso geht das nun allgemein nicht?
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist damit ("Um Null nicht in Potenzreihe entwickelbar"), dass man den Entwicklungspunkt 0 nicht verwenden kann? Das würde dann alles aufklären Big Laugh
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzreihe hat die Form . Hier ist für alle und .

Eine Laurantreihe hat die Form mit wenn und sonst. Und .

Die sind doch nicht ansatzweise gleich.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, aber nach der oben genannten Logik (mein OP) sollte es genauso eine Potenzreihenentwicklung von f(z) um 0 geben. Deine Erwiderung sehe ich bisher noch nicht als hinreichend aus, siehe meine Erwiderung. Dein explizites Beispiel ist ein Beispiel in dem die Laurententwicklung tatsächlich Deckungsgleich ist mit der Potenzreihenentwicklung und in der Tat die Potenzreihentwicklung in einer Umgebung um Null existiert, jedoch nicht 0 als Entwicklungspunkt hat.


Um konkret auf deinen letzten Post einzugehen:
Für jedes z um 0 (im betrachten Bereich) sind die beiden Reihen wertgleich und identisch f(z). Ergo sind sie gleich. So wie (n+1)n/2 gleich der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n ist.

Mein Hauptanliegen ist die Frage, wieso es heißt ich könnte nicht in eine Potenzreihe entwickeln. Und wenn man es doch kann, dann muss die Potenzreihe zumindest wertgleich sein mit der Laurentreihe. Offenbar (dein Beispiel) liegt dann eine Art "geschlossene Form" vor.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ggf. kann es jemand anders besser erklären.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:
ist doch gerade im Konvergenzbereich der Reihe. Genauso könnte man bei beliebigem endlichen Hauptteilargumentieren. Man klammert die höchste negative Potenz aus und entwickelt diese wie oben mittels einer Potenzreihe. Dann addiert man alles und erhält eine reine Potenzreihe. Sofern da nicht Feinheiten beim Umgang mit unendlichen Reihen drin sind die mir nicht aufgefallen sind sollte das gehen. Nur wesentliche Singularitäten wären ein Problem.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn dein "Laurentreihe = Potenzreihe" bedeuten?
Nehmen wir doch mal den Fall einer ganzen Funktion f und entwickeln um und um . Dann gilt mit geeigneten Koeffizienten für alle komplexen die Gleichung .
Daraus folgt aber doch nicht, dass die Reihen gliedweise gleich sind.

Bei ist es genauso. Auf beiden Seiten steht eine Laurentreihe, der Entwicklungspunkt ist aber ein anderer und abhängig vom Entwicklungspunkt gibt es einen Hauptteil oder nicht.
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