Determinanten

05.01.2020, 16:57

RobinDeterminante

Determinanten

Meine Frage:
Wieso ist $\begin{eqnarray*} det((det A) \cdot E_{n}) = (det A)^{n} \end{eqnarray*}$ , bzw. wie lässt sich dieser Satz beweisen?

Meine Ideen:
Leider keine

05.01.2020, 17:05

MaPalui

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Hi Robin,

damit $\begin{eqnarray*} \det(A) \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist erstmal $\begin{eqnarray*} A \in\mathbb K^{m\times m} \end{eqnarray*}$ .
Was ist denn der Wertebreich der Funktion $\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ ? Was passiert mit einem Element dieses Wertebereiches bei Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \mathbb E_n \end{eqnarray*}$ ?

05.01.2020, 17:10

RobinDeterminante

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RE: Determinanten
Danke! Ich habe es mir jetzt so veranschaulicht, dass det(A)*E ja nicht anderes ist als eine Einheitsmatrix, deren Diagonaleinträge allesamt det(A) sind. Und da wir die Determinante ja berechnen, indem wir die Diagonaleinträge multiplizieren, folgt die Aussage smile

05.01.2020, 17:24

MaPalui

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Perfekt!

P.S.:

Zitat:

...dass det(A)*E ja nicht anderes ist als eine Einheitsmatrix, deren Diagonaleinträge allesamt det(A) sind

schreibe dazu besser:

Zitat:

...dass $\begin{eqnarray*} \det(A)\cdot\mathbb E_n \end{eqnarray*}$ ja nicht anderes ist als eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge allesamt det(A) sind

.

Es gibt nicht "eine" Einheitsmatrix, sondern nur "die" Einheitsmatrix. Daher kann man sie ja auch nicht verändern Augenzwinkern

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