Irrationalität erkennen?

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationalität erkennen?
Hallo und schönen Sonntag an alle smile

ich habe mir neulich ein paar "zahlenmystische" Gedanken gemacht. Dabei kam mir der Folgende:
Nehmen wir mal an, ein Computer gibt uns eine Folge aus. Wir wissen nicht, wie die Bildungsvorschrift dafür aussieht. Wir wissen aber, dass es sich um Dezimalstellen einer Zahl handelt. Wir bekommen beliebig viele Folgenglieder ausgegeben.
Bekommen wir beispielsweise die Folge und die Information, dass keine Periode eintritt.
Können wir entscheiden, ob die damit dargestellte Zahl irrational ist oder nicht?

Was ich mich eigentlich gefragt habe war, ob die Zahl die entsteht, wenn ich bei eine Dezimalstelle beliebig ändere, immernoch irrational ist.
Anders gefragt: Kann ich alle bestimmen, sodass rational ist?

Meine Ideen:
Leider kaum welche, da hier absolut das Interesse überwiegt, und nicht das benötigte Hintergrundwissen.
Für die letzte Frage kann ich natürlich den Ansatz bringen, zu wählen und bekomme (immerhin) abzhäbar viele Lösungen.

Danke fürs Lesen und viele Grüße

Eure
Maren
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationalität erkennen?
Zitat:
Original von MaPalui
Was ich mich eigentlich gefragt habe war, ob die Zahl die entsteht, wenn ich bei eine Dezimalstelle beliebig ändere, immernoch irrational ist.


Wenigstens das lässt sich leicht beantworten. Eine Dezimalstelle ändern kann man durch Addition/Subtraktion mit einer rationalen Zahl der Form , und darstellen.

Und da die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl ist, so lautet die Antwort: Man muss unendlich viele Nachkommastellen ändern, um eine rationale Zahl startend von zu erhalten.

Edit:
Zitat:
Original von MaPalui
Bekommen wir beispielsweise die Folge und die Information, dass keine Periode eintritt.
Können wir entscheiden, ob die damit dargestellte Zahl irrational ist oder nicht?


Jop. Es gibt die Äquivalenz zwischen rationalen Zahlen und die Exsitenz einer Periode. Keine Periode impliziert also Irrationalität.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass eine Dezimalzahl genau dann rational ist, wenn sie schließlich periodisch ist. Wir wissen, dass eine Dezimalzahl genau dann irrational ist, wenn sie nicht schließlich periodisch ist.

Weil es hier auf das unendlich weit entfernte Ende der Dezimalzahl ankommt, kann ein Computer darüber nichts wissen. Computer helfen da nicht weiter, denn die können nichts mit unendlichen Dezimalbrüchen anfangen, dazu sind Computer zu klein.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr zwei,

danke, das sind schonmal sehr schöne Antworten mit denen ich auch sofort einige meiner Fragen abschließend erklären konnte.

Zitat:
Und da die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl ist, so lautet die Antwort: Man muss unendlich viele Nachkommastellen ändern, um eine rationale Zahl startend von zu erhalten.


Danke sehr. Ich verstehe also die notwendige Richtung.
Aber ist dies hinreichend? Oder überhaupt entscheidbar?
Sagen wir, ich wähle und shifte nun jede Nachkommastelle nach oben oder unten.
Bilde also .
Nun erhalte ich doch induktiv die Summe "irrational plus rational = irrational".
Dies steht im Gegensatz zu deiner oben genannten Aussage. Wo ist mein Denkfehler?

LG und nochmals vielen Dank
Maren
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst induktiv zeigen, dass für jedes eine irrationale Zahl ist.

Damit hast du eine Folge von irrationalen Zahlen. Du kannst aus der Konvergenz von nicht folgern, dass der Grenzwert irrational ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationalität erkennen?
Zitat:
Original von MaPalui
Nehmen wir mal an, ein Computer gibt uns eine Folge aus. Wir wissen nicht, wie die Bildungsvorschrift dafür aussieht. Wir wissen aber, dass es sich um Dezimalstellen einer Zahl handelt. Wir bekommen beliebig viele Folgenglieder ausgegeben.


Es gibt nur abzählbar viele berechenbare reelle Zahlen (alle algebraischen Zahlen, einige transzendente Zahlen). Also sind fast alle reellen Zahlen nicht berechenbar.
 
 
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