Irrationalität erkennen?

05.01.2020, 17:21

MaPalui

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Irrationalität erkennen?

Hallo und schönen Sonntag an alle smile

smile

ich habe mir neulich ein paar "zahlenmystische" Gedanken gemacht. Dabei kam mir der Folgende:
Nehmen wir mal an, ein Computer gibt uns eine Folge aus. Wir wissen nicht, wie die Bildungsvorschrift dafür aussieht. Wir wissen aber, dass es sich um Dezimalstellen einer Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ handelt. Wir bekommen beliebig viele Folgenglieder ausgegeben.
Bekommen wir beispielsweise die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n = (1,4,1,4,2,1,3...) \end{eqnarray*}$ und die Information, dass keine Periode eintritt.
Können wir entscheiden, ob die damit dargestellte Zahl irrational ist oder nicht?

Was ich mich eigentlich gefragt habe war, ob die Zahl die entsteht, wenn ich bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eine Dezimalstelle beliebig ändere, immernoch irrational ist.
Anders gefragt: Kann ich alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\varepsilon \end{eqnarray*}$ rational ist?

Meine Ideen:
Leider kaum welche, da hier absolut das Interesse überwiegt, und nicht das benötigte Hintergrundwissen.
Für die letzte Frage kann ich natürlich den Ansatz bringen, $\begin{eqnarray*} \varepsilon = q-\sqrt{2}, q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ zu wählen und bekomme (immerhin) abzhäbar viele Lösungen.

Danke fürs Lesen und viele Grüße

Eure
Maren

05.01.2020, 18:09

IfindU

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RE: Irrationalität erkennen?

Zitat:

Original von MaPalui
Was ich mich eigentlich gefragt habe war, ob die Zahl die entsteht, wenn ich bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eine Dezimalstelle beliebig ändere, immernoch irrational ist.

Wenigstens das lässt sich leicht beantworten. Eine Dezimalstelle ändern kann man durch Addition/Subtraktion mit einer rationalen Zahl der Form $\begin{eqnarray*} \frac p { 10^k} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p \in \{1,2,\ldots, 9\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ darstellen.

Und da die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl ist, so lautet die Antwort: Man muss unendlich viele Nachkommastellen ändern, um eine rationale Zahl startend von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Edit:

Zitat:

Original von MaPalui
Bekommen wir beispielsweise die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n = (1,4,1,4,2,1,3...) \end{eqnarray*}$ und die Information, dass keine Periode eintritt.
Können wir entscheiden, ob die damit dargestellte Zahl irrational ist oder nicht?

Jop. Es gibt die Äquivalenz zwischen rationalen Zahlen und die Exsitenz einer Periode. Keine Periode impliziert also Irrationalität.

05.01.2020, 18:23

Elvis

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Wir wissen, dass eine Dezimalzahl genau dann rational ist, wenn sie schließlich periodisch ist. Wir wissen, dass eine Dezimalzahl genau dann irrational ist, wenn sie nicht schließlich periodisch ist.

Weil es hier auf das unendlich weit entfernte Ende der Dezimalzahl ankommt, kann ein Computer darüber nichts wissen. Computer helfen da nicht weiter, denn die können nichts mit unendlichen Dezimalbrüchen anfangen, dazu sind Computer zu klein.

05.01.2020, 18:51

MaPalui

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Hallo ihr zwei,

danke, das sind schonmal sehr schöne Antworten mit denen ich auch sofort einige meiner Fragen abschließend erklären konnte.

Zitat:

Und da die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl ist, so lautet die Antwort: Man muss unendlich viele Nachkommastellen ändern, um eine rationale Zahl startend von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Danke sehr. Ich verstehe also die notwendige Richtung.
Aber ist dies hinreichend? Oder überhaupt entscheidbar?
Sagen wir, ich wähle $\begin{eqnarray*} q=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und shifte nun jede Nachkommastelle nach oben oder unten.
Bilde also $\begin{eqnarray*} q_2 = q + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{10^k}, a_k\in\lbrace 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 9\rbrace \end{eqnarray*}$ .
Nun erhalte ich doch induktiv die Summe "irrational plus rational = irrational".
Dies steht im Gegensatz zu deiner oben genannten Aussage. Wo ist mein Denkfehler?

LG und nochmals vielen Dank
Maren

05.01.2020, 18:59

IfindU

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Du kannst induktiv zeigen, dass $\begin{eqnarray*} q_n = q + \sum_{k=1}^n \frac{ a_k}{10^k} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl ist.

Damit hast du eine Folge $\begin{eqnarray*} (q_n) \end{eqnarray*}$ von irrationalen Zahlen. Du kannst aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ nicht folgern, dass der Grenzwert irrational ist.

05.01.2020, 19:10

zweiundvierzig

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RE: Irrationalität erkennen?

Zitat:

Original von MaPalui
Nehmen wir mal an, ein Computer gibt uns eine Folge aus. Wir wissen nicht, wie die Bildungsvorschrift dafür aussieht. Wir wissen aber, dass es sich um Dezimalstellen einer Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ handelt. Wir bekommen beliebig viele Folgenglieder ausgegeben.

Es gibt nur abzählbar viele berechenbare reelle Zahlen (alle algebraischen Zahlen, einige transzendente Zahlen). Also sind fast alle reellen Zahlen nicht berechenbar.

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14.02.2025, 14:41

willyengland

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RE: Irrationalität erkennen?

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Es gibt nur abzählbar viele berechenbare reelle Zahlen (alle algebraischen Zahlen, einige transzendente Zahlen). Also sind fast alle reellen Zahlen nicht berechenbar.

Ich frage mich immer: Was sind das alles für Zahlen, von denen wir praktisch keine kennen?
So gesehen kennen wir fast keine Zahlen!
Die wir kennen, sind nur eine verschwindende Minderheit.
Wie denken Mathematiker darüber? Haken die das einfach ab und sagen: Ist eben so?
Ein Denkfehler wird ja wohl nicht vorliegen, sonst hätte man den schon gefunden.

14.02.2025, 16:56

Elvis

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Wir identifizieren die reellen Zahlen z.B. mit Punkten des Einheitsintervalls (0,1). Das ist das Kontinuum, es enthält genau so viele Punkte wie jedes andere reelle Intervall oder jede andere endliche oder unendliche reelle Kurve. So sehen wir alle reellen Zahlen gleichzeitig, wir können damit Geometrie und Arithmetik und Analysis und viele andere schönen mathematischen Sachen machen.
Probleme haben damit nur Menschen, die immer noch darauf bestehen, dass reelle Zahlen durch Dezimalzahlen dargestellt werden müssen und durch nichts sonst. Erst wenn man begriffen hat , dass reelle Zahlen viel mehr sind als das, was mancher Schüler sich darunter vorstellt, erkennt man ihre Schönheit und ihren Nutzen.

14.02.2025, 17:29

willyengland

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Sorry Elvis, aber das ist für mich nur blah, blah ...

14.02.2025, 18:02

Leopold

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Dort, wo die reellen Zahlen ihre Anwendung finden, in der Analysis, der Differential- und Integralrechnung aller Dimensionen, ist es nicht wichtig zu wissen, was reelle Zahlen sind, sondern wie man mit ihnen operiert. Für erkenntnistheoretische Belange, sozusagen die Ontologie der reellen Zahlen, sieht das schon anders aus. Und da müssen wir wohl zugeben, daß wir zwar ein paar konkrete reelle Zahlen verstehen: $\begin{align*} -2; \frac{179}{52}; \sqrt{3}; \pi \end{align*}$ , die Gesamtheit der reellen Zahlen aber etwas unserm Verstand Unfaßbares ist. Zumindest meinem Verstand. Man soll ja nie glauben, nur weil man es selbst nicht versteht, sei es auch jedem andern unzugänglich.

15.02.2025, 08:34

willyengland

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Für mich ist das auch unfasslich.

Also es gibt die algebraischen Zahlen: Abzählbar.
Sogar alle berechenbaren Zahlen inkl. Pi, e usw. sind: Abzählbar.
Im Grunde alle Zahlen, die wir kennen.
Übrig bleibt etwas, von dem wir praktisch nichts wissen: Die nicht berechenbaren Zahlen.
Diese sind nicht abzählbar, machen also beinahe alle Zahlen aus.

Das erinnert etwas an die Kosmologie mit der "dunklen Energie" und der "dunklen Materie", von denen wir auch nicht wissen, was es ist. Aber dort sind immerhin 5% bekannte Materie.
Bei den Zahlen sind 0,0% aller Zahlen bekannt. Das finde ich schon ziemlich kurios.

15.02.2025, 08:55

Elvis

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Natürliche, rationale und algebraische Zahlen sind abzählbar. Man weiß, dass jede natürliche Zahl endlich viele Dezimalziffern hat. Man weiß, dass jede rationale Zahl als Bruch dargestellt werden kann und als reelle Zahl endlich viele Dezimalziffern vor dem Komma hat und nach dem Komma schließlich periodisch wird. Man weiß, dass jede algebraische Zahl Nullstelle eines rationalen Polynoms ist. Trotzdem kennt kein Mensch alle natürlichen Zahlen, erst recht nicht alle rationalen Zahlen und schon gar nicht alle algebraischen Zahlen. Abzählbar viele Dinge sind immer zu viel für ein endliches Gehirn, und aufschreiben kann man sie auch nicht, weil es auf der Erde nur endlich viele Elementarteilchen gibt, die man als Datenträger benutzen kann. Wenn wir schon die einfachsten Dinge nicht begreifen, dann ist es nicht mehr so erstaunlich, dass wir die unendlich vielen verschiedenen Unendlichkeiten nicht verstehen können.

15.02.2025, 09:11

willyengland

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Na ja, aber man kann die abzählbaren Zahlen quasi komplett beschreiben und somit auch zum Großteil verstehen.
Mir geht es jedenfalls so.
Aber dass das alles quasi Nichts ist und etwas Unbekanntes quasi Alles, das finde ich schwierig.

15.02.2025, 09:25

Elvis

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Die reellen Zahlen beschreibe ich quasi komplett als Punkte auf einer Geraden oder als Punkte auf einer Kurve oder als Punkte auf einer Strecke oder als Cauchyfolgen rationaler Zahlen oder als konvergente Folgen reeller Zahlen oder als Dedekindsche Schnitte oder was es auch sonst an Beschreibungen gibt. Damit verstehe ich gewissermaßen die Gesamtheit der reellen Zahlen aber niemals jede einzelne reelle Zahl. Wenn ich schon nicht jede einzelne natürliche Zahl kenne, darf ich nicht erwarten, dass ich jede einzelne reelle Zahl kenne. Eine natürliche Zahl kenne ich dann, wenn ich sie in ihre Primfaktoren zerlegen kann, aber wir kennen von den abzählbar vielen Primzahlen auch nur endlich viele. Fast die gesamte Unendlichkeit bleibt uns für immer unbekannt, weil sie zu groß ist.

15.02.2025, 09:50

laila49

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Wie unverständlich Unendlichkeit sein kann, hat mir dass Beispiel

"Man kann stetige, streng monotone Funktionen konstruieren, deren Ableitung fast überall existiert und verschwindet"

gezeigt

15.02.2025, 14:02

Elvis

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Das ist ein schönes Beispiel aus der Analysis. In der Zahlentheorie versuchen wir unter anderem, die algebraischen Zahlen zu verstehen, und da haben wir in den letzten 200 Jahren auch ein paar Fortschritte gemacht. Von einem umfassenden Verständnis sind wir immer noch unendlich weit entfernt, z.B. weiß niemand etwas über die Struktur der Klassengruppen algebraischer Zahlkörper, außer dass sie stets endlich sind - und das wusste Dirichlet schon vor 200 Jahren. Die Ordnung der Gruppe kann man über die analytische Klassenzahlformel berechnen, aber sonst ist außer ein paar einfachen Beispielen fast alles unbekannt. Es ist wie gesagt immer ein großes Problem, unendlich viele Dinge zu kennen, zu beherrschen und zu verstehen.

15.02.2025, 14:33

HAL 9000

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Na bloß gut, dass man endliche Strukturen so viel einfacher verstehen kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2025, 17:12

Elvis

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Ja genau, nach dem Klassifikationssatz kennen wir schon alle endlichen einfachen Gruppen bis auf Isomorphie
1. zyklisch von Primzahlordnung
2. alternierende Gruppe $\begin{eqnarray*} A_n, n\ge 5 \end{eqnarray*}$
3. klassische lineare Gruppen (4 Arten)
4. nichtklassische Gruppen vom Lietyp (10 Arten)
5. sporadische einfache Gruppen (5 Mathieu-Gruppen, 4 Janko-Gruppen, 3 Conway-Gruppen, HS, Mc, Suz, 3 Fischer-Gruppen, $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ (das Monster), $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_5 \end{eqnarray*}$ , He, Ru, Ly, ON)
Das war ja nicht so schwer, der Beweis wurde von ein paar hundert Mathematikern auf ein paar tausend Seiten in ein paar Jahrzehnten erbracht ( https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_einfache_Gruppe ). "Eine Einführung" bietet Kurzweil - Stellmacher "Theorie der endlichen Gruppen".

15.02.2025, 17:20

willyengland

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Ich habe Deepseek gefragt, ob es mir drei Beispiele von nicht berechenbaren Zahlen nennen kann, die nicht auf dem Halteproblem oder Turing Maschinen beruhen.
Hier ist die Antwort:

[attach]58123[/attach]

Die fachliche Bewertung muss ich euch überlassen.

15.02.2025, 17:49

Elvis

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Die Frage ist sehr knifflig, weil man (d.h. ich) nicht so genau weiß, ob und wie das 10. Hilbertsche Problem, Tarskis Theorem und / oder die Beweisbarkeit in PA mit Turing-Maschinen zusammenhängen. Meiner Meinung nach lassen sich viele (oder alle ?) Probleme genau dann nicht lösen, wenn sie nicht durch eine Turing-Maschine gelöst werden können. Wenn ich recht habe, hat DeepSeek geschummelt.

Nachtrag: ChatGPT sieht das genau so wie ich. Berechenbare Zahlen können von einer Turing-Maschine berechnet werden, nicht berechenbare Zahlen können von keiner Turing-Maschine berechnet werden. Das ist ganz einfach die Definition von Berechenbarkeit. Die Chinesen spielen sich auf wie Graf Rotz, sind aber auch nicht intelligenter als Trump (geschätzter IQ 50). Der ganze Rummel um maschinelle Intelligenz ist nichts als Propaganda. (Dass ich in diesem Fall ChatGPT vertraue, liegt wohl daran, dass er meine Meinung unterstützt.)

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