Teleskopsumme

06.01.2020, 10:01	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Teleskopsumme Hey Leute, hoffe euch gehts allen gut! Eine kurze Frage zu Teleskopsummen. Gegeben ist die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) \end{eqnarray}$ Das ist offenbar eine Teleskopsumme, weil sich immer wieder spätere Glieder der Summe mit früheren wegkürzen. Über bleiben sollte dabei eigentlich nur $\begin{eqnarray} 1-\frac12+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \end{eqnarray}$ Meine Idee, um das herzuleiten wäre die Summe in gerade und ungerade Summanden aufzuspalten: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) = \sum\limits_{m=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}\left(\frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}\right)+\sum\limits_{m=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+2}\right) \end{eqnarray}$ Das Prinzip bei Teleskopsummen ist doch jetzt aber, dass ich den kleinsten Index (hier m=1) in das Folgeglied mit kleinerem Index einsetze (hier immer der erste Summand, der positive) und den größten Index in den anderen Summanden. Genau wie es bei Wiki steht. Wenn man $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ jewiels einsetzt, funktioniert auch alles, nur hab ich irgendwie Bedenken, dass es mathematisch korrekt ist einfach die Gaußklammern zu ignorieren. Könnt ihr mir bei meinem Gedankenfehler helfen? Ich habe das Gefühl es fehlt nicht mehr viel die Aufgabe abzuschließen. Liebe Grüße
06.01.2020, 10:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist: Wie bekommt man $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) \end{eqnarray}$ auf die eigentliche Teleskopstruktur $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \left(a_k-a_{k+1}\right) \end{eqnarray}$ ? Die Lösung ist eine "nahrhafte Null": $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) = \sum_{k=1}^n \left(\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right) -\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}\right)\right) = \sum_{k=1}^n \left(a_k-a_{k+1}\right) = 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \end{eqnarray}$ sofern man $\begin{eqnarray} a_k:=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ setzt.
06.01.2020, 10:12	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
HAL = GENIE haha Danke!

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