1. Fundamentalform I vs erste Fundamentalmatrix g

06.01.2020, 15:37	LaRee	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Fundamentalform I vs erste Fundamentalmatrix g Meine Frage: Gegeben ist $\begin{eqnarray} F: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R ^{3}, (x,y) \rightarrow (x, y, xy). \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die erste Fundamentalform und die erste Fundamentalmatrix zu F. Meine Ideen: Meine Frage ist einerseits, ob ich richtig gerechnet habe und andererseits, wie genau erste Fundamentalform und erste Fundamentalmatrix zusammenhängen. Erstmal meine Rechnung: Die erste Fundamentalform ist definiert als: $\begin{eqnarray} I_u (V, W) = \langle dF_u(V), dF_u(W) \rangle \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} V, W \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ sind. Ich dachte, ich gehe folgendermaßen vor: Sei $\begin{eqnarray} V:= (v_1, v_2), W:=(w_1, w_2) \in \mathbb R^{2}, u = (x, y). \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} dF_u(V) = \frac{d}{dt} \|_{t=0} F(u+tV)<br /> = \frac{d}{dt} \|_{t=0} (x + tv_1, y+tv_2, (x+tv_1)\cdot (y+tv_2))<br /> = (v_1, v_2, xv_2 + yv_1). \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} dF_u(W) = (w_1, w_2, xw_2 + yw_1). \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_u(V,W) = (v_1w_1 + v_2w_2 + x²v_2w_1 + xyv_1w_2 + y²v_1w_1). \end{eqnarray}$ Schon ein Denkfehler dabei? Nun ja, wenn ich jetzt die Fundamentalmatrix mit folgender Formel berechne: $\begin{eqnarray} g_{ij}(u) = \langle\partial_iF(u), \partial_jF(u)\rangle,<br /> g(u) = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalte ich $\begin{eqnarray} g(u) = \begin{pmatrix} 1+y² & xy \\ xy & 1+x² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Unter der Voraussetzung, dass nicht sowieso irgendwas schon falsch ist, scheint mir der Zusammenhang zwischen der 1. FF I_u und der 1.FM g(u) nicht so ganz klar zu sein... Eigentlich sollten sie ja die gleiche Abbildung darstellen, tun sie das? Was übersehe ich? Danke!
07.01.2020, 12:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1. Fundamentalform I vs erste Fundamentalmatrix g Deine Erste Fundamentalform ist richtig! ---------------------------------------------------- Die geometrische Motivation des Ersten Fundamentalform erkläre ich mal am Beispiel: Sei im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ eine gekrümmte Fläche mit den 2 Flächenparametern $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ gegeben. Auf dieser Fläche befindet sich eine gekrümmte Kurve mit dem Kurvenparameter t - z.B. der Kurs eines Ozeandampfers auf der Erdkugel (Radius=1) in Abhängigkeit von der Zeit t. $\begin{eqnarray} \vec x(\phi, \theta)=\begin{pmatrix} x(\phi, \theta) \\ y(\phi, \theta) \\ z(\phi, \theta) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\phi)\sin(\theta) \\ \sin(\phi)\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Längen- und Breitengrad des Dampfers hängen von der Zeit ab, also $\begin{eqnarray} \phi=\phi(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta=\theta (t) \end{eqnarray}$ . Will man z.B. die skalare Geschwindigkeit des Dampfers berechnen, so tritt die Erste Fundamentalform auf. Die skalare Geschwindigkeit des Dampfers ist nämlich der Betrag des Quadrates des Geschwindigkeitsvektors, also $\begin{eqnarray} v=\left \|\tfrac{d\vec x}{dt} \right \|=\sqrt{\tfrac{d\vec x}{dt}\cdot \tfrac{d\vec x}{dt}} \end{eqnarray}$ Den Ausdruck unter der Wurzel berechnen wir ausführlich mittels Kettenregel: $\begin{eqnarray} v=\underbrace{\sqrt{\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dx}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \\ \tfrac{dy}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dy}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \\ \tfrac{dz}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dz}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dx}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \\ \tfrac{dy}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dy}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \\ \tfrac{dz}{d\phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{dz}{d\theta}\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}}}_{\text{Wurzel aus Skalarprodukt}}=\underbrace{\sqrt{\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{d\phi}{dt}\\\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{d\phi}{dt}\\\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix} }}_{\text{Matrixdarstellung}}=\sqrt{ \begin{pmatrix}\tfrac{d\phi}{dt}\\\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{d\phi}{dt}\\\tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ Den Audruck unter der Wurzel bezeichnet man als Erste Fundamentalform und das darin auftretende Matrixprodukt als Fundamentalmatrix oder auch als Metrik $\begin{eqnarray} \text{Fundamentalmatrix}=\text{Metrik}=\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix}^T}_{\text{2x3-Matrix}} \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\theta} \\ \tfrac{dy}{d\phi} &\tfrac{dy}{d\theta} \\ \tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix}}_{\text{2x3-Matrix}}=\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{d\phi}\tfrac{dx}{d\phi}+\tfrac{dy}{d\phi}\tfrac{dy}{d\phi}+\tfrac{dz}{d\phi}\tfrac{dz}{d\phi} & \tfrac{dx}{d\phi}\tfrac{dx}{d\theta}+\tfrac{dy}{d\phi}\tfrac{dy}{d\theta}+\tfrac{dz}{d\phi}\tfrac{dz}{d\theta} \\ \tfrac{dx}{d\theta}\tfrac{dx}{d\phi}+\tfrac{dy}{d\theta}\tfrac{dy}{d\phi}+\tfrac{dz}{d\theta}\tfrac{dz}{d\phi} &\tfrac{dx}{d\theta}\tfrac{dx}{d\theta}+\tfrac{dy}{d\theta}\tfrac{dy}{d\theta}+\tfrac{dz}{d\theta}\tfrac{dz}{d\theta} \end{pmatrix}}_{\text{2x2-Matrix}}=\underbrace{\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}}_{\text{2x2-Matrix}} \end{eqnarray}$

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