Nullstellen kubischer Funktion mit zwei Unbekannten

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superkoalabärchen Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen kubischer Funktion mit zwei Unbekannten
Hallo liebe Forumsgemeinde,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Für welche a,b, hat die funktion genau eine, zwei bzw. drei reelle Nullstellen?
f(x) = x³ - ax +b mit a,b element von R

Ich stehe ziemlich auf dem Schlauch, ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll. Zum lösen kubischer Gleichungen kenne ich die Formeln von Cardano und den Satz von Vieta. Ich habe aber überhaupt keine Ahnung ob dies der richtige Ansatz ist oder ob ich etwas ganz anderes verwenden muss.

Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße
K0ala
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch ein wenig einfacher als mit Cardano & Co:

Zunächst stellt man und fest, es gibt daher nach ZWS mindestens eine Nullstelle. Schauen wir uns im weiteren die Ableitung genauer an.

Im Fall ist die Funktion streng monoton wachsend und hat damit genau eine Nullstelle.

Im Fall besitzt die Funktion genau zwei lokale Extremstellen, und zwar bei . Es lohnt sich in diesem Fall mal auf die zugehörigen Extrempunkte zu schauen, und zwar ob die oberhalb, auf oder unterhalb der y-Achse liegen...
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