Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete am Ende

07.01.2020, 11:12

hmhiser

Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete am Ende

Meine Frage:
In einem unendlichen Universum muss der Weihnachtsmann unendlich viele Kinder beschenken. Dazu benötigt er unendlich viele Geschenke, nämlich für jedes Kind eines.
Er nimmt 10 Geschenke vom großen Geschenkestapel A und wirft sie hinter sich (es gehen natürlich keine Geschenke kaputt). Es entsteht ein neuer Geschenkehaufen B. Anschließend lässt er einen seiner Wichtel genau ein Geschenk vom Haufen B wählen, welches dieser auf den (unendlich großen)Schlitten lädt. Danach nimmt der Weihnachtsmann erneut 10 Geschenke vom Stapel A und wirft diese erneut hinter sich. Und wieder kommt ein Wichtel und sucht sich ein Geschenk vom Haufen B aus und bringt es zum Schlitten.
Nun besteht der Haufen B aus 18 Geschenken. Und so machen der Weihnachtsmann und seine Wichtel weiter. Nach und nach füllt sich der Schlitten. Und weil Zeit für den Weihnachtsmann keine Rolle spielt, ist er pünktlich zu Heiligabend fertig und Haufen A vollständig auf den Haufen B und den Schlitten aufgeteilt. Als der Weihnachtsmann nun nach hinten blickt, muss er mit Erschrecken feststellen, dass auf dem Haufen B nur noch 42 Geschenke liegen.Dabei plädieen seine Wichtel, alles nach Vorschrift erledigt zu haben.
Wie sind die Wichtel vorgegangen?
Eine Analysis Aufgabe meines Sohnes im Mathestudium 1. Semester. Wer hat eine Idee? Hat das was mit Douglas Adams berühmter Zahl 42 zu tun?

Meine Ideen:
Leider keine - bis auf Douglas Adams (per Anhalter durch die Galaxis)

07.01.2020, 11:39

HAL 9000

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Sagen wir es so: Ist $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ die Geschenkemenge im Haufen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nach dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten "Wurf" des Weihnachtsmanns und der nachfolgenden Auswahl für den Schlitten, dann ist zweifelsohne $\begin{eqnarray*} |B_n|=9n \end{eqnarray*}$ . Aber man kann die Auswahlen tatsächlich so gestalten, dass Mengengrenzwert $\begin{eqnarray*} B:=\lim_{n\to\infty} B_n \end{eqnarray*}$ existiert und für diesen dann $\begin{eqnarray*} |B| = 42 \end{eqnarray*}$ gilt. Erscheint paradox, aber das haben die Unendlichkeiten so an sich. Augenzwinkern

07.01.2020, 13:50

hmhiser

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Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete
Lieben Dank! Wink

07.01.2020, 13:54

HAL 9000

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Ist dir denn auch konkret klar, wie man auf diese Weise die 42 hinbekommt? Ist gewiss nicht eindeutig, es reicht aber, wenn man eine solche Variante findet.

07.01.2020, 18:24

hmhiser

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Naja...die Frage ist halt wie die Wichtel vorgegangen sind....das verstehe ich nicht so ganz...immerhin gibt es für eine comichafte Variante der Lösung 5 Zusatzpunkte und schriftlich halt nur 2 Punkte. Kannst du es mir eventuell bildlich erklären/beschreiben, dass ich mir das eventuell vorstellen kann?

07.01.2020, 18:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von hmhiser
immerhin gibt es für eine comichafte Variante der Lösung 5 Zusatzpunkte und schriftlich halt nur 2 Punkte.

Das entspricht dem gegenwärtigen Trend, dass man mehr Kohle macht, wenn man sich zum Affen macht denn durch seriöse Arbeit. Big Laugh

P.S.: Die Formulierung "Kohle machen" ist vermutlich auch nicht mehr zeitgemäß seit der Erscheinung der Heiligen Greta - ich versuch mich zu bessern. smile

07.01.2020, 23:45

hmhiser

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Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete
Sorry HAL, ich bin jetzt erst nachhause gekommen. Mein Sohn (Student) war an meinem Rechner und hat es sich vielleicht etwas leicht gemacht.
Ich wollte das zuerst mit ihm besprechen bzw. lösen. Ist halt bei mir schon alles etwas lange her.
Zu deiner letzten Frage - leider nein, hab das noch nicht hinbekommen. Arbeite dran.

Nochmals sorry, kommt nicht wieder vor.
Gruß
hmhiser

08.01.2020, 09:58

Ulrich Ruhnau

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RE: Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete am Ende

Zitat:

Original von hmhiser
Er nimmt 10 Geschenke vom großen Geschenkestapel A und wirft sie hinter sich (es gehen natürlich keine Geschenke kaputt). Es entsteht ein neuer Geschenkehaufen B.

Kann es sein, daß der Geschenkestapel A und der Geschenkehaufen B sich irgendwie mischen?

08.01.2020, 11:11

hmhiser

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Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete
Nein, das passiert dem Weihnachtsmann nicht smile

08.01.2020, 12:08

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ist dir denn auch konkret klar, wie man auf diese Weise die 42 hinbekommt? Ist gewiss nicht eindeutig, es reicht aber, wenn man eine solche Variante findet.

Dann präsentiere ich mal so eine Variante. Nach 5 Runden sind noch 45 Geschenke auf dem Haufen B und bisher haben die Wichtel nicht so genau darauf geachtet, welche Geschenke sie von dem Haufen B auf den Schlitten geladen haben.

Nun kommt der Oberwichtel und sagt, so geht das nicht weiter! Ordnung ist das halbe Leben. Wir nummerieren die Geschenke auf den Haufen B jetzt mal sorgfältig durch. Die jetzt noch dort befindlichen Geschenke bekommen die Nummern 1 bis 45. Die nächsten 10 Geschenke, die der Weihnachtsmann auf den Haufen B gibt, bekommen die Nummern 46 bis 55, die nächsten 10 die Nummern 66 bis 75 usw.

In Runde 6 wird von uns dann das Geschenk mit der Nummer 43 vom Haufen B genommen, in Runde 7 das Geschenk mit der Nummer 44 usw. Auf diese Weise wird jedes Geschenk mit einer Nummer größer 42 irgendwann vom Haufen B genommen und nach unendlich vielen Runden sind nur noch die Geschenke mit den Nummern 1 bis 42 auf dem Haufen B, was nach Adam Riese genau 42 Stück sind.

08.01.2020, 14:39

HAL 9000

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Das entspricht auch meiner angedachten Variante, wobei mein Weihnachtsmann als lupenreiner Bürokrat die Geschenke von Beginn an ordentlich durchnumeriert. D.h, er wirft in Wurf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Pakete $\begin{eqnarray*} 10n-9,\ldots,10n \end{eqnarray*}$ auf Stapel B. Der Wichtel entnimmt nach den Würfen $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ jeweils das Paket $\begin{eqnarray*} 10n \end{eqnarray*}$ , während er für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ das Paket $\begin{eqnarray*} 42+n \end{eqnarray*}$ auswählt. Auf diese Weise bekommt man folgende Haufenmengen

$\begin{eqnarray*} B_1 = \left\{1\ldots 9\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2 = \left\{1\ldots 9,11\ldots 19\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_3 = \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_4 = \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29,31\ldots 39\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_n = \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29,31\ldots 39,41\ldots 46,43+n\ldots,10n\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} B_n = \bigcup_{n\geq 1} \bigcap_{k\geq n} B_k = \bigcup_{n\geq 5} \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29,31\ldots 39,41\ldots 46\right\} = \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29,31\ldots 39,41\ldots 46\right\} =: B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} B_n = \bigcap_{n\geq 1} \bigcup_{k\geq n} B_k = \bigcap_{n\geq 5} \left\{1\ldots 9,11\ldots 19,21\ldots 29,31\ldots 39,41\ldots 46,43+n\ldots\right\} = B \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichheit $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} B_n = \limsup_{n\to\infty} B_n = B \end{eqnarray*}$ bedeutet dann definitionsgemäß auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} B_n = B \end{eqnarray*}$ .

25.01.2020, 13:20

hmhiser

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Analysis Weihnachtsmann 42 Pakete
Danke HAL.
Das hat jetzt an der Uni und darüber hinaus Wellen geschlagen.
Bin dazu privat mit einigen E-Mails bombardiert worden.
Noch einmal DANKE!
Das Thema ist jetzt abgeschlossen.
Wink

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