LR Zerlegung 3x3 Matrix
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07.01.2020, 18:51 Clemens_90 Auf diesen Beitrag antworten »
LR Zerlegung 3x3 Matrix
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe gestern an der Mathematik gezweifelt. Irgendwie dachte ich, dass eine 3x3 Matrix mit Lösungsvektor eindeutig bestimmbar sei und nur einen Lösungsvektor hat...
Das LGS sollte via LR Zerlegung gelöst werden und dabei bin ich auf eine andere Lösung gestoßen, als z.B. von matlab berechnet.

Meine Frage, wie kann das sein?

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Siehe Anhang
07.01.2020, 21:07 MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

ist doch die Lösung? verwirrt
07.01.2020, 21:26 URL Auf diesen Beitrag antworten »

Octave liefert mit [L, U]=lu(A) zwei Matrizen mit LU=A:
L =[ 0.50000 -0.14286 1.00000 ; 1.00000 0.00000 0.00000 ; -0.50000 1.00000 0.00000]
U =[ 2.00000 5.00000 -1.00000 ; 0.00000 -3.50000 2.50000 ; 0.00000 0.00000 -0.14286]

und für inv(U)*inv(L)*B das gewünschte [-2 ; 1; -1]
Beachte, dass L hier keine untere Dreiecksmatrix ist.

Der Aufruf [L, U, P]=lu(A) liefert Matrizen mit LU=PA und L bzw U eine untere bzw. obere Dreiecksmatrix.
08.01.2020, 08:23 Clemens_90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo MaPalui,

ja das ist die Lösung, jedoch bekomme ich über die LR Zerlegung und anschließende Lösung der beiden Dreieckssysteme noch die weitere Lösung Y. Wenn ich beide Lösungen einsetzte, kommt jeweils der Vektor b raus. Also sind sowohl X als auch Y richtige Lösungen.

Meine Frage war jetzt, wie kann es sein, dass ein LGS zwei Lösungen hat? Ich dachte das sei nicht möglich... Es geht mir eigentlich nur um das Verständnis. Ich dachte, dass LGS entweder eine eindeutige Lösung haben, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen...?

URL, danke für die Erstellung der LR Matrizen. Die hatte ich bereits aufgestellt. Die Lösung davon ist Y.
08.01.2020, 08:52 URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mit beiden LU-Varianten auf die (einzige!) Lösung. Du wirst also offenlegen müssen, was du gerechnet hast.
08.01.2020, 09:21 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Clemens,

Ich weiß nicht, was Du gerechnet hast, aber bei mir klappt es.
code: 
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>> A=[1 3 -1;2 5 -1;-1 -6 3];
>> B=[2;2;-7];
>> X=inv(A)*B
X =
   -2.0000
    1.0000
   -1.0000
>> X1=A\B
X1 =
   -2.0000
    1.0000
   -1.0000
>> [L,U]=lu(A)
L =
    0.5000   -0.1429    1.0000
    1.0000         0         0
   -0.5000    1.0000         0
U =
    2.0000    5.0000   -1.0000
         0   -3.5000    2.5000
         0         0   -0.1429
>> A1=L*U
A1 =
     1     3    -1
     2     5    -1
    -1    -6     3
>> L1=inv(L);
>> U1=inv(U);
>> X2=U1*L1*B
X2 =
   -2.0000
    1.0000
   -1.0000
>>
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08.01.2020, 11:44 Clemens_90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lade meine Rechnung später mal hoch. Aber darum geht es mir ja gar nicht. Wenn man die Werte [(-26/7)traurig 13/7)traurig -1/7)] einsetzt, dann geht das Gleichungssystem genauso auf.

Meine Frage ist wie kann das sein? Ich dachte es handelt sich um 3 Graden im Raum. Wie können diese zwei Schnittpunkte haben oder verstehe ich da etwas falsch?

Ist es möglich, dass ein LGS zwei Lösungen hat?
08.01.2020, 11:56 Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Die ersten beiden Zeilen stimmen, aber

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Vorzeichen korrigiert
08.01.2020, 12:02 URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf -55/7 in der dritten Komponente
@steffen: muss vor den letzten Summanden nicht ein Minuszeichen?
08.01.2020, 12:53 Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
muss vor den letzten Summanden nicht ein Minuszeichen?


Ja, natürlich, dankeschön. Hab's geändert.
08.01.2020, 13:22 Clemens_90 Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Ich habe (schrittweise) mit Matlab noch mal nachgerechnet und stimmt. Es gibt nur die Lösung (-2 1 -1).

Komisch, trotz mehrfachen nachrechnen habe ich gestern keinen Fehler gefunden.

Fazit: LR-Zerlegung ist sehr anfällig für Vorzeichen- Flüchtigkeitsfehler!

Also bleibt die Aussage zu LGS, sie besitzen entweder eine eindeutige Lösung, keine oder unendlich viele... das ist schön :-)

Tschüss und danke für die Unterstützung
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