Zwei n-mal differenzierbare Funktionen beweisen

07.01.2020, 21:16	unixmelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei n-mal differenzierbare Funktionen beweisen Meine Frage: Aufgabe: Seien f.g: D ? R zwei n mal differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie: (fg)^(n)= summe von k=0 bis n (n über k)f^(n-k) g^(k) Für jede Hilfe bin ich dankbar. Meine Ideen:* Problem/Ansatz: Mein Ansatz war es mittels vollständiger Induktion zu beweisen. Der Induktionsanfang sowie Induktionsvoraussetzung stellen kein Problem dar. Allerdings weiß ich nicht wie der Induktionsschritt nun funktioniert. Ich weiß ebenfalls nicht wie ich damit rechne wenn es differenzierbare Funktionen sind, was differenzierbare Funktionen sind ist mir bewusst.
07.01.2020, 21:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsannahme: Für ein $\begin{align} n \geq 1 \end{align}$ gelte: $\begin{align} (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)} g^{(k)} \end{align}$ Induktionsbehauptung: $\begin{align} (fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \end{align}$ Der Ableitungsoperator, im Folgenden mit einem Strich bezeichnet, ist mit der Addition verträglich (Summenregel), konstante Faktoren bleiben erhalten (Faktorregel). Daher kannst du unter Verwendung der Induktionsannahme folgendermaßen beginnen: $\begin{align} (fg)^{(n+1)} = \left( (fg)^{(n)} \right)' = \left( \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)} g^{(k)} \right)' = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \left( f^{(n-k)} g^{(k)} \right)' \end{align}$ Jetzt mußt du innen die gewöhnliche Produktregel anwenden. Zerlege dann die Summe nach dem Muster $\begin{align} \sum_{k=0}^n \left( A_k + B_k \right) = \sum_{k=0}^n A_k \ + \ \sum_{k=0}^n B_k \end{align}$ in zwei Summen. In der einen Summe passen die Ableitungsordnungen schon, wie man sie in der Induktionsbehauptung braucht: $\begin{align} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \end{align}$ , in der anderen Summe führe eine Indexverschiebung durch: substituiere $\begin{align} k \end{align}$ durch $\begin{align} k-1 \end{align}$ , dann paßt es dort auch. Dann fasse beide Summen wieder unter einem Summenzeichen zusammen. Wie das genau geht, findest du vielleicht selber heraus. Du mußt dann noch Binomialkoeffizienten addieren. Dafür gibt es aber Regeln. Falls du die nicht auswendig weißt, dann schaue nach. Stichwort: Aufbau des Pascalschen Dreiecks.

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