Surjektivität zeigen: N3 auf Q

09.01.2020, 05:20

dunkain02

Surjektivität zeigen: N3 auf Q

Meine Frage:
Die Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N}^{3} \to \mathbb{Q}, f(x, y, z) = \frac{x-y}{1+z} \end{eqnarray*}$
soll surjektiv sein und das soll ich zeigen. Ich brauche also keinen ausführlichen Beweis.

Meine Ideen:
Ich müsste ja nur zeigen das jedes Element aus der Zielmenge ein Urbild besitzt. Die drei variablem in der Formel lösen bei mir allerdings extreme Panik aus.

Würde mich über einen Schubser in die richtige Richtung freuen.
(Im Anhang ist die Abbildung zu sehen, falls ich das mit dem Latex code nicht hinbekommen habe.)

Liebe Grüße.

09.01.2020, 06:09

Leopold

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Das ist nicht wirklich schwer. Keine Angst vor den drei Variablen. Am besten, du begründest so etwas verbal. Wenn du in der Lage bist, das negative heutige Datum $\begin{align*} f(x,y,z) = - \frac{901}{2020} \end{align*}$ herzustellen, dann hast du auch die Aufgabe verstanden. Finde $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ .

09.01.2020, 07:10

dunkain02

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Danke für deine schnelle Antwort und die beruhigenden Worten Big Laugh

. Vllt. hab ich's verstanden.

Könnte ich also zeigen das die Abbildung surjektiv ist, indem ich sage:
Für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} z + 1 = \frac{x-y}{n} \end{eqnarray*}$ , (dann eben noch die Umformungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ).
Oder bin ich da jetzt auf den komplett falschen Dampfer? ^^''

Mein Gedankengang war, dass ich ausgehend von deinem Beispeil:
$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 903 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2019 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe.

Dann $\begin{eqnarray*} f (x, y, z) = \frac{2 - 903}{1 + 2019} = -0,4... \end{eqnarray*}$ so gesehen einfach umgeformt habe zu $\begin{eqnarray*} f (x, y, z) = \frac{2 - 903}{-0,4...} = 2020 \end{eqnarray*}$ . Das könnte ich mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch machen.

09.01.2020, 08:23

dunkain02

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oh... $\begin{eqnarray*} z = \frac{x-y-n}{n} \end{eqnarray*}$

09.01.2020, 10:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von dunkain02
Für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} z + 1 = \frac{x-y}{n} \end{eqnarray*}$ , (dann eben noch die Umformungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ).

Vorsichtig formuliert: Es mangelt deinen Ideen auf jeden Fall an Klarheit in der Darlegung...

Ein naheliegender erster Schritt ist doch, dass man jede rationale Zahl als Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ darstellen kann, wobei wir zudem $\begin{eqnarray*} q\geq 1 \end{eqnarray*}$ annehmen dürfen. In Leopolds Beispiel wäre das $\begin{eqnarray*} p=-901,q=2020 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt versuche passende $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ anzugeben, wobei diese drei Werte in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ dargestellt werden. D.h., das was du hier

Zitat:

Original von dunkain02
$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 903 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2019 \end{eqnarray*}$

für die konkreten $\begin{eqnarray*} p=-901,q=2020 \end{eqnarray*}$ getan hast solltest du geeignet auf allgemeine $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ übertragen.

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