Monotonie von rekursiver Folge mit Variable

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PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie von rekursiver Folge mit Variable
Hallo liebes Matheboard,

Ich hänge mich gerade an einer Aufgabe fest, bei der wir die Konvergenzordnung von zwei Folgen bestimmen sollen. Bevor ich jedoch überhaupt dazu komme soll ich von Folgender Folge



zeigen, dass diese monoton steigt ab . Dabei ist und beliebig.

Ich kannte rekursive Folgen bisher nur ohne eine weitere Variable. Ich habe erstmal versucht die Monotonie durch Induktion zu zeigen. Jedoch bin ich dabei bisher noch auf kein schlüssiges Ergebnis gekommen, ist Induktion hier überhaupt der richtige Ansatz? Den Grenzwert der Folge kenne ich, jedoch ist ja erst klar dass die Folge einen Grenzwert besitzt, wenn man dies durch das Monotoniekriterium bestätigt, oder nicht? Ich wäre sehr dankbar über einen Ratschlag oder Tipps wie man hier am besten anfängt!

Noch kurz zu meiner Induktion, ich hatte versucht zu zeigen dass

ist. Als Induktionsanfang habe ich n = 1 gewählt und damit erhält man

und die Ungleichung kann man noch umfornem zu z.B.

Letzten Endes würde ich damit herausbekommen, dass sein muss, was in meinen Augen Sinn macht (?) da 1/k der Grenzwert ist gegen den die Folge konvergiert. Da man aber diesen nicht Nutzen darf (?) weil man ja noch nicht gezeigt hat das dieser existiert und die Folge dagegen konvergiert denke ich nicht das dies der richtige Ansatz ist. Kann man vielleicht zeigen das die Folge gegen den Grenzwert, der bekannt aber noch nicht bewiesen ist, Beschränkt ist und dann die Monotonie damit Beweisen was im Endeffekt auch den Grenzwert beweist? Oder hätte ich bei der Induktion die rekursion anders umschreiben sollen? Die Aufgabe verwirrt mich echt sehr... naja, danke für eure Aufmerksamkeit!

Mfg,
P
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Rekursionsgleichung folgt unmittelbar



und damit per Induktion .

Außerdem wissen wir wegen und (*) auch , womit für eine monoton fallende Nullfolge ist.
 
 
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir ehrlich gesagt nicht folgen gerade, wie du auf die erste Folgerung kommst, sprich wie du die Rekursionsgleichung umgestellt hast geschockt . Tue mich leider immer sehr schwer mit Rekursion.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeMep
wie du auf die erste Folgerung kommst, sprich wie du die Rekursionsgleichung umgestellt hast

Einfache äquivalente Umformungen der gegebenen Rekursiongleichung:







Und dann Binomische Formel.



Ok, nochmal in anderen Worten: Die Transformation überführt wie gesehen die Folge mit Startwert in die viel einfacher handhabbare Folge mit Startwert .

Schon im ersten Schritt ergibt sich und daraus dann mit fortlaufender Quadrierung eine monoton fallende Nullfolge .

Die Rücktransformation macht daraus eine monoton wachsende Folge mit Grenzwert .
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Hammer

Manchmal denke ich einfach nicht an solche elementaren Schritte... danke dir!
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