Schnittgerade zweier Ebenen - wo liegt der Fehler?

09.01.2020, 18:24

V342

Schnittgerade zweier Ebenen - wo liegt der Fehler?

Meine Frage:
Hallo liebe Mathe-Experten,

muss eine Geradengleichung formulieren an der zwei Ebenen sich schneiden. Habe es mit den Methoden gemacht die wir verwenden sollen. Ich habe im Unterricht die Aufgabe schon richtig gelöst, wollte sie aber z.H. absichtlich mit anderen Spannvektoren aus der gegebenen Normalform nochmal rechnen.

Finde meinen fehler einfach nicht. Vermutlich einfach zu sehen aber ich steh auf dem Schlauch. Freue mich wenn ihr mal rüberguckt.

Danke.

$\begin{eqnarray*} Beide~Ebenengleichungen~In~Parameterform~umwandeln... \\ E: [\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ]*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=0 \\ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \\ F: [\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} ]*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \\ F:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \\ Beide~Gleichungen~gleich~setzen~und~umformen~in~Matrix... \\ E:\vec{x} = F:\vec{x} \\ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = r_{1}*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s_{1}*\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r_{2}*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s_{2}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} s_{1} & r_{1} & s_{2} & r_{2} & § \\ -3 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -2 & 0 \end{vmatrix} \\ 3*III-I \\ \begin{vmatrix} s_{1} & r_{1} & s_{2} & r_{2} & § \\ -3 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -6 & 1 \end{vmatrix} \\ III+2*II \\ \begin{vmatrix} s_{1} & r_{1} & s_{2} & r_{2} & § \\ -3 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -2 & 1 \end{vmatrix} \\ \\ -4*s_{2}-2*r_{2}=1 \\ r_{2}= \frac{1+4*s_{2}}{(-2)} \\ r_{2} -> F:x \\ \\ Einsetzen~eines~Wertes~in~F... \\ F:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + (\frac{1+4*s_{2}}{(-2)} )*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \\ Mein~Ergebnis: \\ F:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \\ Das~soll~rauskommen: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \\ Der~Stützpunkt~und~die~Gerade,~das~passt~irgendwie~nicht~:/~Finde~den~Fehler~leider~nicht. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

09.01.2020, 18:54

Helferlein

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P.S.: Der Weg, den Du gegangen bist ist ziemlich aufwendig. Der Richtungsvektor muss auf beide Normalvektoren senkrecht stehen.

09.01.2020, 21:19

V342

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Zitat:

Original von Helferlein
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P.S.: Der Weg, den Du gegangen bist ist ziemlich aufwendig. Der Richtungsvektor muss auf beide Normalvektoren senkrecht stehen.

Wow ja danke. Klassischer Fehler am Anfang der Rechnung.

Ich habe mir alle möglichen Ebenen vorgestellt, und es leuchtet ein, dass die Normalvektoren orthogonal zum Richtungsvektor stehen müssen.
Allerdings fällt es mir schwer mir vorzustellen, dass wenn man sich 2 der unendlich vielen unterschiedlichen Normalvektoren aus den beiden Ebenen rauspickt, dass sich die Richtung des Richtungsvektors nicht verändert :S Er ist zwar immer orthogonal zu den Normalvektoren aber kann doch trotzdem in ganz unterschiedliche Richtungen verlaufen oder?
Was habe ich falsch verstanden?

09.01.2020, 23:00

mYthos

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Da alle Normalvektoren einer Ebene in die gleiche Richtung verlaufen, kann man sich vorstellen, dass es nur einen einzigen (Einheitsvektor dieser Richtung) gibt, aus dem ausschließlich durch Veränderung dessen Länge alle anderen hervorgehen.
Dies ist bei beiden Ebenen der Fall, daher hat es auf die Lage des Richtungsvektors der Schnittgeraden keinen weiteren Einfluss.

Der Richtungsvektor folgt also aus dem Vektorprodukt der beiden Normalvektoren und sofort bekommst du g = (1; -4; 3).

So, nun ermittle noch für einen Stützpunkt der Geraden einen gemeinsamen Punkt der beiden Ebenen:
Dazu ist es besser, du bringst die Ebenen auf die Normalgleichungen:

E1: -x + 2y + 3z = 2
E2: x + y + z = 1

Setze z = 0, dann folgt aus den beiden Gleichungen y = 1 und x = 0
Damit lautet ein Stützpunkt der Geraden A(0; 1; 0)

mY+

10.01.2020, 10:18

HAL 9000

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Alternativ kann man statt nur einer speziellen auch gleich die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems

Zitat:

Original von mYthos
E1: -x + 2y + 3z = 2
E2: x + y + z = 1

bestimmen, dann bekommt man neben Stützpunkt auch gleich den Richtungsvektor der Schnittgeraden über diese Betrachtung, statt dass man ihn über das Vektorprodukt berechnet.

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