Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung

10.01.2020, 13:30

OnkelDagobert

Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich hätte die folgende Frage: Bei Herleitungen treten ja oft Terme höherer Ordnung auf, die dann meist "en passant" weggelassen werden. Zur Begründung heißt es dann einfach, diese seien "vernachlässigbar". Als Beispiel die Herleitung der Gleichung für das Biegemoment in der Technischen Mechanik, wie sie z. B. im Standard-Lehrbuch "Gross Hauger" zu finden ist (s. a. Bild unten).

$\begin{eqnarray*} -Q*dx+dM+\frac{1}{2}*q*dx*dx = 0 \end{eqnarray*}$

Hier wird der Term mit dx*dx einfach vernachlässigt und es bleibt die bekannte Formel:

$\begin{eqnarray*} dM = Q*dx \end{eqnarray*}$

Bzw. durch Integration:

$\begin{eqnarray*} M(x) = \int_{}^{} \! Q(x) \, dx + C \end{eqnarray*}$

Es wird auch nirgends darauf hingewiesen, dass es sich um eine Näherung handeln würde. Mein grundsätzliches Problem (als Ingenieur) bei dieser und ähnlichen Vorgehensweisen ist: Der Fehler durch das Weglassen der Terme höherer Ordnung ist zwar "sehr klein", aber durch das Integral macht man ihn eben auch "sehr oft". Wie soll man nun wissen, was man vernachlässigen kann und was nicht? Und ist die erhaltene Lösung dann exakt oder nur eine Näherung?

Meine Ideen:
s. o.

10.01.2020, 14:07

HAL 9000

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Salopp gesprochen ist $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ ja ein $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta x\to 0 \end{eqnarray*}$ . Dividiere deine Ausgangsgleichung durch $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ , dann steht da

$\begin{eqnarray*} -Q(x) + \frac{dM}{dx} + \frac{q}{2} dx = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -Q(x) + M'(x) + \frac{q}{2} dx = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun führt man den Grenzübergang wirklich durch, d.h. ersetzt das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ durch 0, und gelangt zu $\begin{eqnarray*} -Q(x) + M'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. eben $\begin{eqnarray*} M'(x)=Q(x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du den Grenzübergang vor dieser Division durchführst, dann steht da einfach nur $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ , was zwar richtig, aber ohne sonderlichen Erkenntniswert ist.

10.01.2020, 16:40

OnkelDagobert

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Hmm ok. Aber wenn ich den Grenzübergang vor der Divison durchführe, würde es doch heißen

$\begin{eqnarray*} dM = 0 \end{eqnarray*}$

was dem eigentlichen Ergebnis widerspricht. Oder nicht?

Mit dem " $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ zu 0 werden lassen" habe ich auch ein bisschen Probleme (zumal man bei der Division ja vereinbaren muss, dass der Divisor ungleich 0 ist). Im Endeffekt ist " $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ " doch eben nicht 0, sondern infinitesimal klein.

10.01.2020, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von OnkelDagobert
Aber wenn ich den Grenzübergang vor der Divison durchführe, würde es doch heißen

$\begin{eqnarray*} dM = 0 \end{eqnarray*}$

was dem eigentlichen Ergebnis widerspricht.

Inwiefern?

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