Grenzwert einer (Exponential?)Folge berechnen

10.01.2020, 20:37	PeMep	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer (Exponential?)Folge berechnen Hallo liebes Matheboard, Irgendwie kann ich gerade nicht ganz Nachvollziehen wie man den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray} a_{n} = (\frac{n}{n+2020})^{n} \end{eqnarray}$ berechnet. Wir haben gelernt, dass der Grenzwert einer Folge der Form $\begin{eqnarray} a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \end{eqnarray}$ ist. Ich habe ein wenig versucht, die Folge umzustellen und auf einen logischen Schluss zukommen, eventuell auch durch hilfe eben dieses Grenzwerts, aber... ich glaube ich übersehe mal wieder irgendetwas offensichtliches. Meine Frage ist, ob mir diese Folge überhaupt weiter hilft, oder ob die Umstellung von $\begin{eqnarray} a_{n} = (\frac{n}{n+2020})^{n} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} a_{n} = (\frac{1}{1+\frac{2020}{n}})^{n} \end{eqnarray}$ schon helfen könnte? (Wie macht man Klammern die um den gesamten Ausdruck gehen?) Mfg, P
10.01.2020, 20:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (Exponential?)Folge berechnen Wenn man mit $\begin{eqnarray} a_{n} = \left(\frac{1}{1+\frac{2020}{n}}\right) ^{n}=\left[\left(1+\frac{2020}{n}\right)^{-1}\right]^{n}=\left[\left(1+\frac{2020}{n}\right)^{n}\right]^{-1} \end{eqnarray}$ was anfangen kann, würde es helfen. Edit: kleine Korrektur der Darstellung vorgenommen
10.01.2020, 21:06	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (Exponential?)Folge berechnen Guten Abend, als Ergänzung: Setze $\begin{eqnarray} \frac1z = \frac{2020}{n} ~ \implies ~ n = 2020 \cdot z \end{eqnarray}$ Diese Substitution im letzten Term vornehmen und der Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ folgt sofort. $\begin{eqnarray} (e^{-2020} \end{eqnarray}$
10.01.2020, 21:09	PeMep	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer (Exponential?)Folge berechnen Vielen dank euch beiden, das war sehr hilfreich! Hab es jetzt verstanden, super danke ^^ Wie immer war ich mal wiede Blind und habe an etwas so elementares nicht gedacht... naja. Habe eben durch klauss Tipp auch schon gesehen, das $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{2020}} \end{eqnarray}$ rauskommt. Danke vielmals euch beiden!

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