Beweis der Stetigkeit der E-Funktion mittels Epsilon-Delta-Kriterium

10.01.2020, 23:33

Irgendjemand

Beweis der Stetigkeit der E-Funktion mittels Epsilon-Delta-Kriterium

Hallo,

ich versuche gerade die Stetigkeit der e-Funktion mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums zu beweisen.
(Ich weiß, mit dem Folgenkriterium geht es einfacher..).

Eine Funktion ist stetig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon > 0 \exists \thinspace \delta > 0 \thinspace \forall x \in D \thinspace : \left|x-{x}_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f({x}_{0})\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wir setzen also ein:

$\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f({x}_{0})\right| < \varepsilon \Leftrightarrow \left|e^{x}-e^{{x}_{0}}\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Mein Ziel war es danach eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} \left|e^{x-{x}_{0}}\right| \end{eqnarray*}$ zu erzielen.

Deswegen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{(e^{x}-e^{{x}_{0}}) \times e^{{-x}_{0}}}{e^{{-x}_{0}}} \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{{e^{{-x}_{0}}}} \left| (e^{x-{x}_{0}}-1) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Durch umformen erhalten wir schließlich:

$\begin{eqnarray*} \left| (e^{x-{x}_{0}}-1) \right| < \frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left| (e^{x-{x}_{0}}-1) \right| \leq \left| (e^{x-{x}_{0}}+1) \right| <\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}} \end{eqnarray*}$

und deswegen:

$\begin{eqnarray*} \left| (e^{x-{x}_{0}}+1) \right| < \frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}} \end{eqnarray*}$

Logarithmus anwenden:

$\begin{eqnarray*} \ln (\left| (e^{x-{x}_{0}}+1) \right|) < \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}}) \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck links sollte eigentlich bekannt sein: Es ist die Approximation der ReLU-Funktion.

Wir schreiben daher:

$\begin{eqnarray*} \ln (\left| (e^{x-{x}_{0}}+1) \right|) \leq \left|x-{x}_{0} + 1 \right| < \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}}) \end{eqnarray*}$

Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left|x-{x}_{0} + 1 \right| \leq \left|x-{x}_{0} \right| + 1 < \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}}) \end{eqnarray*}$

Wir subtrahieren die 1 und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \left | x-{x}_{0} \right| < \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}})- 1 \end{eqnarray*}$

Wir wählen daher
$\begin{eqnarray*} \delta = \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}})- 1 \end{eqnarray*}$

Es sollte aber einleuchten das da was nicht stimmt.

Delta wird nämlich unter Umständen negativ,
$\begin{eqnarray*} \left|x-{x}_{0}\right| \end{eqnarray*}$
hingegen wird niemals negativ.

Wo genau liegt mein Fehler?
Liebe Grüße.

11.01.2020, 10:17

Elvis

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Zitat:

Original von Irgendjemand
Eine Funktion ist stetig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon > 0 \exists \thinspace \delta > 0 \thinspace \forall x \in D \thinspace : \left|x-{x}_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f({x}_{0})\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Weil schon die Definition falsch ist wird der Beweis unmöglich.

11.01.2020, 13:06

Irgendjemand

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Stimmt, es muss lauten:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists \thinspace \delta > 0 \thinspace \forall x \in D \thinspace : \left|x-{x}_{0}\right| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-f({x}_{0})\right| < \varepsilon <br /> \end{eqnarray*}$

Gerade dann entsteht eben auch der Fehler, wenn
das Epsilon beliebig klein gewählt wird: Delta wird negativer.

Wo genau gehe ich falsch vor?
Liebe Grüße.

11.01.2020, 13:32

PWM

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Hallo,

das Grundprinzip ist: Du willst eine Ungleichung $\begin{eqnarray*} f(x) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ lösen. Dazu verwendest Du eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} f(x) \leq h(x) \end{eqnarray*}$ und löst $\begin{eqnarray*} h(x) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist: Wenn Du h zu groß wählst, kommst Du nicht zum ERfolg.

Das ist bei Dir hinter "es gilt" der Fall, die Abschätzung durch $\begin{eqnarray*} |\exp(x-x_0)+1| \end{eqnarray*}$ ist zu grob, weil dieser Term immer gößer als 1 ist.

Gruß pwm

11.01.2020, 14:12

Irgendjemand

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Hallo,

Ich könnte es doch auch einfach so
$\begin{eqnarray*} \left| (e^{x-{x}_{0}}-1) \right| \leq \left| (e^{x-{x}_{0}}) \right| <\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}} \end{eqnarray*}$

abschätzen.

Am Ende würde ich halt
$\begin{eqnarray*} \left | x-{x}_{0} \right| < \ln(\frac{\varepsilon}{e^{{x}_{0}}}) \end{eqnarray*}$

erhalten.

Der Term
$\begin{eqnarray*} \left| (e^{x-{x}_{0}}) \right| \end{eqnarray*}$
wäre dann unter Umständen auch kleiner als 1.

Wie würde man denn im Idealfall vorgehen? Vielleicht irgendwie mit der bernoullischen Ungleichung?
Liebe Grüße (-:

12.01.2020, 10:34

PWM

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Hallo,

Deine Abschätzung ist (allgemein) falsch, nämlich für sehr kleine negative x-Werte. Außerdem würde sie nicht helfen, dann für $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ ergibt Deine Abschätzung 1, was nicht klein zu kriegen ist.

Es hängt von Deinen Kenntnissen bzw. von Eurer Einführung der exp-Funktion ab, wie man abschätzen kann. Eine einfache Variante wäre der Mittelwertsatz mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\exp(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \exp(x)-1=f(x)-f(0)=f'(t)x=\exp(t) x \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich passt das nicht zu Eurer Vorlesung: Wenn die Stetigkeit der exp-Funktion in Frage steht, die Ableitung zu verwenden.

Also: Wie habt Ihr die exp-Funktion definiert?

Gruß pwm

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