Beweis der Stetigkeit der E-Funktion mittels Epsilon-Delta-Kriterium

Neue Frage »

Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Stetigkeit der E-Funktion mittels Epsilon-Delta-Kriterium
Hallo,

ich versuche gerade die Stetigkeit der e-Funktion mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums zu beweisen.
(Ich weiß, mit dem Folgenkriterium geht es einfacher..).

Eine Funktion ist stetig wenn gilt:




Wir setzen also ein:



Mein Ziel war es danach eine Gleichung der Form

zu erzielen.

Deswegen:




Wir erhalten:



Durch umformen erhalten wir schließlich:



Es gilt:



und deswegen:



Logarithmus anwenden:



Der Ausdruck links sollte eigentlich bekannt sein: Es ist die Approximation der ReLU-Funktion.

Wir schreiben daher:



Dreiecksungleichung:



Wir subtrahieren die 1 und erhalten:



Wir wählen daher


Es sollte aber einleuchten das da was nicht stimmt.

Delta wird nämlich unter Umständen negativ,

hingegen wird niemals negativ.

Wo genau liegt mein Fehler?
Liebe Grüße.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irgendjemand
Eine Funktion ist stetig wenn gilt:




Weil schon die Definition falsch ist wird der Beweis unmöglich.
 
 
Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, es muss lauten:


Gerade dann entsteht eben auch der Fehler, wenn
das Epsilon beliebig klein gewählt wird: Delta wird negativer.

Wo genau gehe ich falsch vor?
Liebe Grüße.
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das Grundprinzip ist: Du willst eine Ungleichung lösen. Dazu verwendest Du eine Abschätzung und löst . Das Problem ist: Wenn Du h zu groß wählst, kommst Du nicht zum ERfolg.

Das ist bei Dir hinter "es gilt" der Fall, die Abschätzung durch ist zu grob, weil dieser Term immer gößer als 1 ist.

Gruß pwm
Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich könnte es doch auch einfach so


abschätzen.

Am Ende würde ich halt


erhalten.

Der Term

wäre dann unter Umständen auch kleiner als 1.

Wie würde man denn im Idealfall vorgehen? Vielleicht irgendwie mit der bernoullischen Ungleichung?
Liebe Grüße (-:
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Deine Abschätzung ist (allgemein) falsch, nämlich für sehr kleine negative x-Werte. Außerdem würde sie nicht helfen, dann für ergibt Deine Abschätzung 1, was nicht klein zu kriegen ist.

Es hängt von Deinen Kenntnissen bzw. von Eurer Einführung der exp-Funktion ab, wie man abschätzen kann. Eine einfache Variante wäre der Mittelwertsatz mit :



Wahrscheinlich passt das nicht zu Eurer Vorlesung: Wenn die Stetigkeit der exp-Funktion in Frage steht, die Ableitung zu verwenden.

Also: Wie habt Ihr die exp-Funktion definiert?

Gruß pwm
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »