3 Vektoren linear unabhängig über Matrix

11.01.2020, 11:44

Namenspitz

3 Vektoren linear unabhängig über Matrix

Meine Frage:
Es ist ein Vektorraum gegeben und die Menge des Körpers K ist eine Menge von Matrizen, nun soll ich drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit über K prüfen.

Meine Ideen:
Ich weiß wie man drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüft ich weiß aber nicht was mit "über K" gemeint ist

11.01.2020, 12:58

Elvis

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RE: 3 Vektoren linear unabhängig über Matrix

Zitat:

Original von Namenspitz
... die Menge des Körpers K ist eine Menge von Matrizen ...

Das gibt es nicht. Matrizen bilden keinen Körper. (Außer in sehr speziellen Fällen.)

11.01.2020, 13:16

Namenspitze

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steht hier aber auf dem zettel
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} a,b\mathbb\in R \right\} \end{eqnarray*}$

11.01.2020, 13:56

Mulder

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RE: 3 Vektoren linear unabhängig über Matrix
Zu einem Vektorraum gehören im Wesentlichen zwei Verknüpfungen: Die Vektoraddition und die Skalamultiplikation. Die Skalare sind Elemente eines Körpers. Das kann z.B. der Körper der reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein. In so einem Fall nennt man den zu betrachtenden Vektorraum einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum oder auch "Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ " . Steht eigentlich bei der Definition eines Vektorraums auch dabei.

Zitat:

Original von Namenspitz
Es ist ein Vektorraum gegeben und die Menge des Körpers K ist eine Menge von Matrizen, nun soll ich drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit über K prüfen

Deinen Angaben müsste man nun entnehmen, dass in deinem Fall K der Körper ist, aus dem die Skalare stammen. Deine Formulierung "über K" deutet jedenfalls darauf hin. Gleichzeitig hast du aber auch deine Menge von Matrizen als Körper K bezeichnet. Daher ist das ziemlich verwirrend.

Tipp: Am besten immer den Originallaut der Aufgabe wiedergeben. So wie sie dir gestellt wurde. Zu oft entstehen Missverständnisse, weil der Fragesteller irgendetwas falsch oder ungenau wiedergibt. Schon Kleinigkeiten genügen da.

11.01.2020, 14:08

Namenspitze

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"Zeigen Sie dass die drei Vektoren ... linear unabhänig über K sind. "
Ich weiß nicht was mit "über K" gemein ist.

Ja K ist der Körper aus dem die Skalare kommen.

11.01.2020, 14:14

Mulder

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Wie gesagt:

Zitat:

Original von Namenspitze
Ich weiß nicht was mit "über K" gemein ist.

Das hier:

Zitat:

Original von Namenspitze
K ist der Körper aus dem die Skalare kommen.

11.01.2020, 17:32

Huggy

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RE: 3 Vektoren linear unabhängig über Matrix

Zitat:

Original von Mulder
Deinen Angaben müsste man nun entnehmen, dass in deinem Fall K der Körper ist, aus dem die Skalare stammen. Deine Formulierung "über K" deutet jedenfalls darauf hin. Gleichzeitig hast du aber auch deine Menge von Matrizen als Körper K bezeichnet. Daher ist das ziemlich verwirrend.

Die zu betrachtenden Matrizen

Zitat:

Original von Namenspitze
steht hier aber auf dem zettel
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} a,b\mathbb\in R \right\} \end{eqnarray*}$

bilden, wenn ich das richtig sehe, tatsächlich einen Körper. Also könnten die "Skalare" in dieser Aufgabe tatsächlich diese Matrizen sein, auch wenn man Matrizen üblicherweise nicht als Skalare bezeichnet.

11.01.2020, 17:51

Elvis

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Zur Klärung des Sachverhalts wäre es zweckdienlich, anzugeben welche Vektoren über welchem Körper linear unabhängig sein sollen. Wenn es sich um Matrizen des angegebenen Typs handelt, können diese nur $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -linear unabhängig und nicht $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -linear unabhängig sein, mit $\begin{eqnarray*} K=\{\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}:a,b\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ . Zwei Elemente $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eines Körpers sind immer linear abhängig wegen $\begin{eqnarray*} w\cdot v+(-v)\cdot w=0 \end{eqnarray*}$ .

11.01.2020, 18:05

Leopold

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$\begin{align*} K = \mathcal{C} = \left\{ \left. \, \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \, \right| \, a,b \in \mathbb{R} \right\} \end{align*}$

ist eine Modellierung des Körpers der komplexen Zahlen. Die Multiplikation ist kommutativ. Neutrales Element der Multiplikation und imaginäre Einheit sind

$\begin{align*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \ \ I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, ; \ \ I^2 = -E \end{align*}$

Jedes Element $\begin{align*} Z \in \mathcal{C} \end{align*}$ kann auf eindeutige Weise als

$\begin{align*} Z = X + IY \ \ \text{mit} \ X = xE, \ Y = yE; \ x,y \in \mathbb{R} \end{align*}$

geschrieben werden.

Namenspitze ist nicht besonders mitteilungsfreudig. Und so weiß kein Mensch, von welchem Vektorraum er spricht. Wenn er von obigem $\begin{align*} \mathcal{C} \end{align*}$ spricht, dann ist die Aufgabe nur sinnvoll, wenn $\begin{align*} \mathcal{C} \end{align*}$ als $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ -Vektorraum betrachtet wird, soll sie nicht zu einer Trivialität (siehe Elvis' letzten Hinweis) verkommen. $\begin{align*} E,I \end{align*}$ sind dann Basiselemente. Der Vektorraum hat also die Dimension 2. Drei Vektoren müssen daher linear abhängig sein.
Warum Namenspitze immer noch nicht den vollständigen Aufgabentext angegeben hat, bleibt sein Geheimnis. Es würde ja alles viel einfacher machen.

EDIT
Kleine Unachtsamkeit korrigiert.

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