Verständnisfrage - Ungleichung

11.01.2020, 14:32	Analytics	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage - Ungleichung Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bzgl. einer Ungleichung. Leider verstehe ich nicht, warum diese gilt. Wir haben eine Funktion: $\begin{eqnarray} \varphi \in C^{\infty}_{0}((-1,1)), \ <br /> \varphi(x)= \begin{cases} <br /> & e^{\frac{1}{x^2-1}} \ x \in(-1,1) \\<br /> & \ 0 \ sonst<br /> \end{cases} \\ \end{eqnarray}$ und definieren: $\begin{eqnarray} \varphi_\epsilon = \varphi(\frac{x}{\epsilon} ), \ <br /> \frac{2}{e}=2 \varphi_\epsilon(0) \\ \end{eqnarray}$ Nun gilt für eine Funktion $\begin{eqnarray} g \in L^2 \\<br /> <br /> \int_{-1}^{1} \! g(x) \varphi_\epsilon(x) \, dx \leq \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \! \|g(x)\| \|\varphi_\epsilon(x)\| \, dx \leq \frac{1}{e} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \! \|g(x)\| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für epsilon gegen 0 . Meine Ideen: Warum ist das Integral in $\begin{eqnarray} (-\epsilon,\epsilon) \end{eqnarray}$ größer als über (-1,1)? Epsilon geht doch gegen null und dann integriere ich ja über einen kleineren Bereich ?
11.01.2020, 14:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Ungleichung Es ist $\begin{eqnarray} \varphi(x) = 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \not\in (-1, 1) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} \varphi_\varepsilon(x) = 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \not\in (-\varepsilon, \varepsilon) \end{eqnarray}$ .
11.01.2020, 15:28	Analytics	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Ungleichung Ach Gott stimmt ! Vielen Dank ! Und warum gilt $\begin{eqnarray} \| \varphi_\epsilon(x) \| \leq \frac{1}{e} = \varphi_\epsilon(0) ? \end{eqnarray}$
11.01.2020, 16:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Ungleichung Die Funktion $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nimmt dort ihr Maximum an: Da $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ monoton ist, ist die Frage wo $\begin{eqnarray} \frac 1 { x^2 - 1} \end{eqnarray}$ maximal wird. Das passiert wenn $\begin{eqnarray} x^2 -1 \end{eqnarray}$ minimal wird. Und da $\begin{eqnarray} x^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , und bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ tatsächlich $\begin{eqnarray} x^2 = 0 \end{eqnarray}$ gilt, ist ein/das Minimum von $\begin{eqnarray} x \mapsto x^2 - 1 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ .

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