Dimension Faktorraum Polynome

11.01.2020, 15:08

Jan Schneider

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Dimension Faktorraum Polynome

Ich häng grade bei dieser Aufgabe:

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} dimK[X]/fK[X] = |deg(f)| \end{eqnarray*}$

f ist hierbei Element von K[X]

Meine Idee war folgende: Die Dimension von K[X] sei n, wenn ich f nun als Vektor auffasse, hat dieser die Dimension n+1; laut Dimformel für den Faktorraum komme ich dann aber n hoch 2 als Dimension. Ich glaube dass mein Denkfehler irgendwo in der Dimension von f als Vektor liegen muss, wenn der aus dem Raum mit der Dimensionn n kommt müsste er doch auch dieselbe Dimension haben; brauche ich hier eine Basis um weiterzukommen? Und folgt die Dimension von fK[X] aus dem Produkt beider Dimensionen?

Danke schonmal für die Hilfe.

11.01.2020, 17:44

tatmas

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Hallo,

ein Vektor an sich hat keine Dimension, dass ist eine Eigenschaft eines Vektorraums.

Die Dimension, als K-Vektorraum, von fK[X] ist unendlich.
Damit funktioniert keinerlei Dimensionsformel.

Hier würde ich schlicht die Defintion der Dimension nehmen: Bestimme eine Basis, nimm deren Länge.

11.01.2020, 19:42

Jan Schneider

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Okay, dann müsste ich die Basis von K[X] zu einer Basis von fK[X] ergänzen, oder?
Die Basis von K[X] sähe ja so aus:

$\begin{eqnarray*} B = (1, x^1, x^2, ... , x^n)^T \end{eqnarray*}$

und hätte die Länge n+1; wie geht das mit dem Ergänzen konkret? Ich kenne den Basisergänzungssatz, aber weiß leider nicht wie ich den hier konkret anwenden kann.

11.01.2020, 20:02

Elvis

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Eine Basis von $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Potenzen von x. Eine Basis des Faktorraums $\begin{eqnarray*} K[x]/(f(x)) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{1,x,...,x^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ , und das sind $\begin{eqnarray*} n=deg(f) \end{eqnarray*}$ Vektoren. Die Querstriche musst du dir denken, weil ich zu faul zum schreiben bin.

11.01.2020, 20:13

Jan Schneider

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Kein Problem, danke für die schnelle Antwort.

Also ich habe jetzt verstanden dass ich die Dimension bekomme wenn ich die Basis ergänze und dann die Elemente der Basis zähle, das ist klar; ich verstehe nur nicht was ich da tue.

Lt. einem Lehrbuch (Beutelspacher, LA 1) und etwas gegoogle muss ich für V/U die Basis von U zur Basis von V ergänzen um die Basis vom Faktorraum zu bekommen; dann habe ich z.B.

$\begin{eqnarray*} B = (1, x^1, ... , x^n) \end{eqnarray*}$

als Basis von U mit der Länge n+1, da füge ich dann jetzt n Vektoren hinzu für die Basis des Faktorraums? verwirrt

verwirrt

Habe hauptsächlich Probleme bei der formal richtigen Schreibweise.

11.01.2020, 20:45

tatmas

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Wie bereits erwähnt haben dein U und dein V hier unendliche Basen, deswegen ist in meinen Augen das mit dem Basis ergänzen etwas mühsam.

Insbesondere ist die Dimension wie bereits erwähnt von fK[X], deinem U, unendlich.

Da liegt ein Hauptproblem.

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11.01.2020, 20:49

Jan Schneider

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Woher weiß ich dann wieviele Elemente der Faktorraum enthält, also so wie Elvis das erklärt hat? Ich finde es eigentlich recht plausibel dass ein Vektor n Elemente enthält mit beliebig vielen Elementen dazwischen

$\begin{eqnarray*} B = (1, x, ... , x^n) \end{eqnarray*}$

mit beliebig vielen bei "...", ist diese Annahme falsch? verwirrt

verwirrt

Das ist nur eine 2-Punkte-Aufgabe, also wahrscheinlich keine besonders schwere; ich will nur zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen und den Faktorraum sowie die Dimension davon irgendwie verstehen. smile

smile

EDIT: Woher weiß man eigentlich dass die Dimension der beiden Räume unendlich ist?

11.01.2020, 20:59

tatmas

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Ein Vektor enthält im Allgemeinen überhaupt keine Elemente.
Insbesondere dass Polynome Elemente Elemente enthalten habe ich nie gehört.

Zitat:

mit beliebig vielen bei "...", ist diese Annahme falsch?

$\begin{eqnarray*} (1,x,...,x^n) \end{eqnarray*}$ hat eine ziwmlich eindeutig festgelegte Bedeutung, alternativ so geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \{ x^i | 0 \leq i \leq n \} \end{eqnarray*}$ , diese Menge hat n+1 Elemente.

Beliebige viele Elemente wäre (1,x,x²,...) ohne einen Endwert. Das ist eine (abzählbar) unendliche Menge.

Zum Edit: z.B. durch aufstellen einer Basis. Was sehr sinnvoll ist als Übung, wenn einem das nicht klar ist.

11.01.2020, 21:10

Jan Schneider

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Ich komm hier leider nicht weiter.

Als Basis komme ich auf das, was ich oben stehen habe: n+1 "Elemente", wie soll ich jetzt auf die Dimension schließen? Sind ja nur endlich viele Einträge in der einen Basis drin. Dass ich mir einen Polynomraum nicht vorstellen kann entkompliziert es leider auch nicht.

Ich darf nicht ergänzen und die Basis selbst gibt mir diese Anzahl, ich dreh mich also irgendwie im Kreis. Was muss ich weiterhin machen?

11.01.2020, 21:15

tatmas

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Deine Basis ist falsch.
Damit ist alles was du damit machen willst halt auch falsch.

Erstmal die Basis richtig bestimmen wäre sinnvoll.

11.01.2020, 21:20

Jan Schneider

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Dann erkläre mir bitte die richtige Basis, ich verstehe es nicht.

11.01.2020, 21:43

Elvis

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K[x] und fK[x] sind unendlichdimensionale K-Vektorräume, und der Faktorraum K[x]/(f)=K[x]/fK[x] hat die endliche Basis, die ich aufgeschrieben habe und hat die endliche Dimension n.
Um das zu verstehen musst du wissen, was ein Faktorraum ist, sonst wird das nichts.
Der Witz ist, dass $\begin{eqnarray*} f=\sum_{k=0}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^n\equiv - \frac 1{a_n}\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k\mod f \end{eqnarray*}$ gilt.

11.01.2020, 21:49

Jan Schneider

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Zitat:

Original von Elvis
K[x] und fK[x] sind unendlichdimensionale K-Vektorräume, und der Faktorraum K[x]/(f)=K[x]/fK[x] hat die endliche Basis, die ich aufgeschrieben habe und hat die endliche Dimension n.
Um das zu verstehen musst du wissen, was ein Faktorraum ist, sonst wird das nichts.

Ich hab im Wesentlichen zwei Fragen:

1. K[X] ist ein Vektorraum der Polynome. Wieso ist die von mir angegebene Basis falsch? Wie sieht eine richtige Basis dieses Vektorraums aus? Wie sähe die von f K[X] aus?

2. Wie kommt die Dimension des Faktorraums zustande wenn man die Dimformel nicht verwenden kann?

Ja ich merke dass ich das Verständnis für dieses Problem nicht aufbringen kann weil ich den Faktorraum nicht verstehe. Ein Faktorraum enthält wenn ich das richtig weiß Äquivalenzklassen; bzw. ist der Faktorraum die Menge aller Nebenklassen. Leider versuche ich mir immer etwas darunter vorzustellen und dann komme ich nicht weiter, ist ziemlich ähnlich wie beim Dualraum. Die Definition von z.B. Nebenklassen verstehe ich, aber ich weiß dann nicht was ich damit anfangen kann/soll.

11.01.2020, 21:54

Elvis

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Ich habe versucht, es genauer zu erklären, siehe oben. Hoffe das ist verständlich... $\begin{eqnarray*} 1 \equiv 1,x\equiv x,..., x^{n-1}\equiv x^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist Basis des Faktorraums, $\begin{eqnarray*} x^n\equiv... \end{eqnarray*}$ siehe oben, und natürlich lassen sich alle höheren Potenzen von x durch die Faktorraumbasis darstellen.

11.01.2020, 22:08

Jan Schneider

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Danke für deine Mühen,

ich verstehe dass der Faktorraum ähnlich dem modulo Rechnen funktioniert, ich verstehe nur den Zusammenhang leider (noch) nicht ganz so konkret; vielleicht brauche ich da noch bis morgen früh oder so. Ich weiß dass man sich den als Gerade im R^2 vorstellen kann, wobei die Gerade ein Unterraum ist. Nun verschiebt man jeden Punkt dieser Geraden um einen Vektor und erhält so eine neue Gerade. Auf der Geraden sind zwei Punkte dann "gleich", wenn sie sich nur um einen Betrag von der ursprünglichen Geraden unterscheiden. Sich das in dem Kontext hier nur irgendwie vorzustellen überfordert mein Hirn etwas.

Man braucht aber doch konkret einen Basis"vektor" von K[X] um überhaupt eine Aussage treffen zu können, oder? Wenn ich kein Element eines Erzeugendensystems kenne kann ich doch auch nichts über den Faktorraum sagen.

11.01.2020, 22:16

Elvis

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Faktorraum ist nicht so ähnlich wie Kongruenzrechnung, der Faktorraum ist eine Quotientenmenge modulo einer Kongruenzrelation. Durch geeignete Definition wird er ein Vektorraum. Betrachte was ich geschrieben habe als Definition, mehr kann man darüber nicht sagen. Deine geometrische Vorstellung taugt nichts. Studiere Faktormengen, Aequivalenzrelationen, Kongruenzrelationen, alles nur Mengenlehre, sonst wirst du diese wichtigen Begriffe nie verstehen.

11.01.2020, 22:22

Jan Schneider

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Okay, dann vergess ich die geometrische Vorstellung von dem Ding schnell wieder und bleib dabei mich mit den Definitionen auseinanderzusetzen. Ich nehme die Lösung der Aufgabe jetzt einfach mal so hin und lese mich nochmal intensiver in den Faktorraum und die Zusammenhänge rein.

Danke für die Erklärungen soweit.

11.01.2020, 22:28

Elvis

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Die Begriffe gehören zu den wichtigsten in der Algebra, denn darauf basiert der Homomorphiesatz und die Isomorphiesaetze für alle algebraischen Strukturen. Fundamentaler geht es nicht. Unbedingt lernen, verstehen und nie wieder vergessen.

12.01.2020, 08:51

Elvis

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Noch ein Versuch zur Erklärung. $\begin{eqnarray*} V/U=\{v+U:v\in V\}, v+U=w+U\Leftrightarrow v-w\in U\Leftrightarrow v\equiv w\mod U \end{eqnarray*}$ bedeutet für $\begin{eqnarray*} U=fK[x] \end{eqnarray*}$ gerade, dass f ein Teiler von v-w ist, und das bedeutet, dass v und w bei der Polynomdivision durch f denselben Rest lassen. Der Rest hat einen kleineren Grad als f, deshalb werden die Restklassen vertreten durch $\begin{eqnarray*} 1, x,..., x^{n-1} \end{eqnarray*}$ , und das ist eine Basis.

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