Quadratische Gleichung erstellen aus 3 beliebigen Punkten

13.01.2020, 01:06

AlfaAlf

Quadratische Gleichung erstellen aus 3 beliebigen Punkten

Meine Frage:
Hallo,

ich verzweifle gerade hier etwas, bin allerdings auch kein Mathematiker. Hab mich schon in die Schulmathematik eingelesen, nachdem ich sie knapp 20 Jahre nicht mehr benutzt habe.
Zum Problem: Für das Spiel Space Engineers möchte ich ein Gerät bauen, welches aus einem Motor und daran montierten Hubkolben besteht. Logischerweise dreht sich der Motor im Kreis und die Kolben können ein- und ausgefahren werden.
Nun sollen die Außenpunkte der Kolben ein beliebiges Rechteck abfahren. Man gibt Höhe und Breite an. Zur Programmierung dieses Vorgangs benötige ich eine mathematische Formel, an deren Erstellung ich nicht weiter komme.

Gegeben ist, wie gesagt das Quadrat durch Höhe und Breite, und die Motorstellung in Grad ist bekannt. Jetzt muss die Formel errechnen, wie weit die Kolben ausgefahren sein müssen, damit sie die Form des Rechtecks beschreiben. Die Drehzahl des Motors ist auch gegeben und fix.

Meine Ideen:
Als erstes berechne ich mit Hilfe von Höhe und Breite die Diagonale und die Winkel der Diagonalen Gamma und Omega. Soweit, so gut!
Meiner Logik nach muss die Formel des Kolbenhubs eine eine Quadratische Funktion sein, da die Kolben schneller werden müssen, je weiter es in die Ecken des Quadrates geht. 1° Motorumdrehung sorgt für einen größeren Weg, den das Kolbenende folgen muss in den Ecken entgegen zu den oberen und seitlichen Flanken.

Da ich die Höhe, die Breite und die Diagonale des Rechtecks kenne, kenne ich ja auch für jede der vier Seiten drei Punkte. Die beiden Ecken und den Scheitelpunkt der Parabel bei maximal eingefahrenen Kolben. Also bei 0°, 90°, 180° und 270°.
Ich benötige somit zwei versch. Formeln y=ax²+bx+c für die längeren und kürzeren Seite des Rechtecks.

Eigentlich sollte es ja kein Problem sein eine Quadratische Formel aus drei Punkten zu erstellen, wenn ein Punkt sogar der Scheitelpunkt ist. Allerdings finde ich keine allgemein gültige Lösung.
Als Mensch bekomme ich das hin, wenn ich z.B. die Scheitelform y=a(x-xs)²+ys benutze um a zu errechnen. Oder ich erstelle drei Formeln und bau mir aus den drei Formeln mit drei unbekannten eine fertige Formel.
Allerdings sind dies Methoden, die menschlichen Verstand voraussetzen. Um das mit C# dem Computer beizubringen benötige ich eine allgemein gültige Formel, in die man die x,y Werte der drei bekannten Punkte einsetzt und die Quadratische Formel bekommt.
Die Formel soll die Endposition des Kolbens angeben. Die Ausfahrgeschwindigkeit kann man dann ja durch die Ableitung der Formel errechnen.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich zu einer Lösung komme?

13.01.2020, 09:55

Dopap

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Wenn $\begin{eqnarray*} P_s(x_s,y_s) \end{eqnarray*}$ der Scheitelpunkt ist, dann genügt ein weiterer Punkt um die Parabel festzulegen.
Es gibt nur eine Variable nämlich a die zu berechnen ist - nicht drei.

Sei ein weiterer bekannter Parabelpunkt $\begin{eqnarray*} P_1(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ dann gilt

$\begin{eqnarray*} y_1=a(x_1-x_s)^2+y_s \quad \Rightarrow \quad a=\frac{y_1-y_s}{(x_1-x_s)^2} \end{eqnarray*}$

und formal entsteht die Funktionsvorschrift

$\begin{eqnarray*} \boxed{y=f(x):= \frac{y_1-y_s}{(x_1-x_s)^2}\cdot(x-x_s)^2+ y_s} \end{eqnarray*}$

13.01.2020, 10:53

Huggy

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RE: Quadratische Gleichung erstellen aus 3 beliebigen Punkten

Zitat:

Original von AlfaAlf
Zum Problem: Für das Spiel Space Engineers möchte ich ein Gerät bauen, welches aus einem Motor und daran montierten Hubkolben besteht. Logischerweise dreht sich der Motor im Kreis und die Kolben können ein- und ausgefahren werden.
Nun sollen die Außenpunkte der Kolben ein beliebiges Rechteck abfahren.

Die Beschreibung ist etwas vage. Wo befindet sich die Motorachse? Eine Skizze wäre hilfreich gewesen. Mal angenommen, die Achse befindet sich in der Mitte des Rechtecks:

[attach]50377[/attach]

Dann ist der Abstand eines Punktes auf der rechten Seite des Rechtecks von der Achse gegeben durch

$\begin{eqnarray*} l=\frac a {2 \cos \alpha} \end{eqnarray*}$

Es liegt also keine parabelförmige Abhängigkeit vor. Für die anderen Seiten des Rechtecks ergeben sich ähnliche Formeln für $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ .

13.01.2020, 23:32

AlfaAlf

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Vielen Dank für die Hilfe!

@Dopap: Die Gleichung ist genau das, was ich versucht habe mir selber herzuleiten. Leider habe ich immer die Klammern aus multipliziert und habe es dann nicht hinbekommen a zu isolieren. Jetzt sehe ich natürlich direkt, wie gewaltig ich auf dem Schlauch gestanden habe.
Wobei ich mir trotzdem nicht sicher bin, ob ich zu diesem Ergebnis gekommen wäre. Hab tatsächlich alles vergessen, was ich früher in der Schule mal wusste.

Hab mit der Formel eine Excel-Tabelle erstellt und mir ein Graph anfertigen lassen und der sieht sehr gut aus.

@Huggy:
Es erscheint sehr logisch den Raum in Dreiecke einzuteilen und dann fehlende Kantenlänge zu errechnen.
Habe auch das mal mit Excel in den Graphen einzeichnen lassen und die Kurven sind nur fast gleich.

Die Maschine besteht schon in einer Beta-Version. Dort habe ich mit festen Werten gearbeitet und die Quadratische Funktion hat einen schönen eckigen Tunnel gebohrt, weshalb ich weiter diesen Weg gegangen bin. Nun kommt eben die Weiterentwicklung, dass der Nutzer die Höhe und Breite selber festlegen soll.

Die trigonometrische Lösung klingt irgendwie sinnvoller. Und ich bastel ewig an den Gleichungen! :-)

Ein kleines Video, wie die erste Version der Maschine arbeitet findet man auf Youtube, wenn man nach "Cubic Tunnel Drill v0.8" sucht.

Nochmals vielen Dank für eure Hilfe. Mein Neffe ist seit letzem Jahr auf dem Gymnasium. Ich leihe mir mal seine Bücher.

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