Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung

13.01.2020, 18:15

Glückskatze

Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung

Meine Frage:
Lösung der eindimensionalen, homogenen Wärmeleitgleichung im Intervall $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ergibt sich zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}sin(k\pi x)exp(-(k\pi)^{2}t) \end{eqnarray*}$ . mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}sin(k\pi x)=u(x,0)=u_{0}(x) \end{eqnarray*}$ dieses $\begin{eqnarray*} u_{0}(x) \end{eqnarray*}$ sei nun gegeben durch $\begin{eqnarray*} u_{0}(x)=\sum\limits_{k=1}^{N} a_{k}sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$ das entspricht der allgemeinen Lösung für $\begin{eqnarray*} c_{k}=a_{k}, falls k\leq N ; sonst 0 \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} a_{k}, N \end{eqnarray*}$ seien gegeben. Das sind meine bisherigen Ergebnisse der Aufgabe, nun zu dem Teil, an dem ich Probleme habe:

Zeigen Sie, dass diese Lösung eindeutig ist.

Meine Ideen:
Nun ja, eigentlich ist es ja offensichtlich, dass diese Lösung eindeutig ist, wenn alle Koeffizienten, sowie die Zahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ vorgegeben sind. Daher ist mir nicht ganz klar, was hier mit zeigen gemeint ist und wie man das tun soll. Kann man $\begin{eqnarray*} u_{0}(x,0)=\sum\limits_{k=1}^{N} a_{k}sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$ irgendwie nach den $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ umformen? Wenn ja, wie? Und wäre dann dadurch bereits die Eindeutigkeit der Lösung gezeigt?

13.01.2020, 22:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung

Zitat:

Original von Glückskatze
Meine Frage:
Lösung der eindimensionalen, homogenen Wärmeleitgleichung im Intervall $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ergibt sich zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}sin(k\pi x)exp(-(k\pi)^{2}t) \end{eqnarray*}$ . mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}sin(k\pi x)=u(x,0)=u_{0}(x) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass diese Lösung eindeutig ist.

Es wäre schön, auch mal die Wärmeleitungsgleichung zu sehen und was noch interessanter ist, die Randbedingungen. Sonst wird Dir hier niemand antworten.

14.01.2020, 00:25

Glückskatze

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Die Wärmeleitunggleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} \partial_{t}u(x,t)=\partial_{x}^{2}u(x,t) \end{eqnarray*}$
Die Randbedingungen habe ich nicht angegeben, da diese irrelevant für meine Frage sind, da ich die Lösung bereits hergeleitet habe und auch in meiner Frage angegeben habe.
Sie lauten:
$\begin{eqnarray*} u(0,t)=u(1,t)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x,0)=u_{0}(x,0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ die hier gegebene Form von $\begin{eqnarray*} u_{0} \end{eqnarray*}$ steht ebenfalls bereits in meiner ursprünglichen Frage.
Ich entschuldige mich, nicht alles angegeben zu haben, wollte jedoch einfach, um es so übersichtlich wie möglich zu halten, nur die für dieses Problem relevanten Dinge nennen und da ich wie gesagt, die DGL bereits gelöst habe (siehe oben), dachte ich, die Randbedingungen wören nicht weiter wichtig.

14.01.2020, 08:06

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Glückskatze
Die Wärmeleitunggleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} \partial_{t}u(x,t)=\partial_{x}^{2}u(x,t) \end{eqnarray*}$
Die Randbedingungen habe ich nicht angegeben, da diese irrelevant für meine Frage sind, da ich die Lösung bereits hergeleitet habe und auch in meiner Frage angegeben habe.
Sie lauten:
$\begin{eqnarray*} u(0,t)=u(1,t)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x,0)=u_{0}(x,0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ die hier gegebene Form von $\begin{eqnarray*} u_{0} \end{eqnarray*}$ steht ebenfalls bereits in meiner ursprünglichen Frage.

So etwas habe ich schon einmal in aller Ausführlichkeit gelöst. Mein Beitrag zu einer Frage von Wildeisen ging noch von einer Diffusionskonstante $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und einer Länge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ aus.

Zitat:

Original von Wildeisen
Ziel ist die Lösung der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} D \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{\partial C}{\partial t} \\ \end{eqnarray*}$
per Separationsansatz $\begin{eqnarray*} C(x,t) = X(x) \cdot T(t) \end{eqnarray*}$ .

Als Anfangs- und Randbedingungen sind gegeben
$\begin{eqnarray*} C = C_0, \text{ } \, \, 0 < x < L, \text{ } \, \, t = 0 \\ C = 0, \text{ } \, \, x = 0, \text{ } \, \, t > 0 \\ C = 0, \text{ } \, \, x = L, \text{ } \, \, t > 0 \\ \end{eqnarray*}$

Ich fand die Lösung $\begin{eqnarray*} C(x,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \lambda_m=\frac{m\pi}{L} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_k = \frac{2 C_0}{k\pi} (1-\cos(k\pi)) \end{eqnarray*}$ D.h. $\begin{eqnarray*} A_k = \begin{cases}\frac{4 C_0}{k\pi} & \text{für } k \text{ ungerade}\\ 0 & \text{für }k\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der nachfolgende Matlab-Plot stellt die Konzentration C der Wärme (Temperatur) in den ersten drei Sekunden unterteilt in 60 Schritte dar (Linien von oben nach unten $\begin{eqnarray*} C_0=1, D=1, L=1 \end{eqnarray*}$ ). Man erkennt, wie die Wärme mit der Zeit verloren geht, weil die Wärme nach links und rechts wegdiffundiert.
[attach]50119[/attach]

14.01.2020, 09:31

Huggy

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RE: Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung

Zitat:

Original von Glückskatze
Zeigen Sie, dass diese Lösung eindeutig ist.

Meine Ideen:
Nun ja, eigentlich ist es ja offensichtlich, dass diese Lösung eindeutig ist, wenn alle Koeffizienten, sowie die Zahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ vorgegeben sind.

So einfach kann man sich die Sache wohl nicht machen. Es gibt ja schon bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Fälle, wo die Anfangsbedingung die Lösung nicht eindeutig bestimmt. Hier schafft der Satz von Picard-Lindelöf Klarheit.

Die Eindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung bei einer stetigen Anfangsbedingung wird üblicherweise über das Maximum-Prinzip gezeigt:

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=...VIMKsMzfNEff7fC

Da deine Anfangsbedingung nur aus einer endlichen Summe stetiger Funktionen besteht, ist sie stetig und die Lösung daher eindeutig.

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