Inklusion/Exklusion

13.01.2020, 21:35

ITSler

Inklusion/Exklusion

Meine Frage:
Abend, ich habe eine frage zur folgenden aufgabe, hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen..

Wie viele Wörter aus 17 Buchstaben des Wortes "Mobilfunkgespräch", in dem die Wörter "bus", "loch" und "krieg" nicht anwesend sein dürfen, bilden?

Meine Ideen:
zu lösen mit inklusive exklusion?

13.01.2020, 21:42

HAL 9000

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Meinst du mit Wörter lediglich Permutationen vom "mobilfunkgespräch"? verwirrt

"aus den 17 Buchstaben gebildet" könnte auch alles mögliche andere bedeuten, z.B. nur ein Auswahl oder vielleicht auch einzelne Buchstaben mehrfach ... das sollte man schon sauber abgrenzen.

Zitat:

Original von ITSler
zu lösen mit inklusive exklusion?

Ja, klingt gut. Ein anderer Weg scheint hier kaum vorstellbar.

13.01.2020, 23:35

ITSler.

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.
ja genau das soll Permutationen sein

14.01.2020, 07:59

HAL 9000

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Na dann leg los: Die drei Mengen, welche in die Inklusion-Exklusion-Formel eingehen, sind offenbar die Permutationsmengen, die die Sequenzen "bus", "loch" und "krieg" enthalten.

14.01.2020, 18:40

Leopold

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Mit einer Summendifferenz von Fakultäten habe ich 354286870922880 erhalten.

16.01.2020, 10:57

ITSler2

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..
Könnten sie mir den Rechenweg genauer erläutern?

mfg

16.01.2020, 14:19

HAL 9000

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Zunächst ein paar Mengendefinitionen:

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ... Menge aller Permutationen von "Mobilfunkgespräch"
$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ... Menge der der Permutationen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , welche die Sequenz "bus" enthalten
$\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ ... Menge der der Permutationen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , welche die Sequenz "loch" enthalten
$\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ ... Menge der der Permutationen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , welche die Sequenz "krieg" enthalten

Dann ist gesucht $\begin{eqnarray*} N=\left|\Omega\setminus\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\right| \end{eqnarray*}$ , und das ist nach Inklusion-Exklusion-Formel gleich

$\begin{eqnarray*} N &=& \left|\Omega\right| - \left|A_1\right| - \left|A_2\right| - \left|A_3\right| + \left|A_1\cap A_2\right|+ \left|A_1\cap A_3\right|+ \left|A_2\cap A_3\right| - \left|A_1\cap A_2\cap A_3\right|\\ &=& 17! - 15! - 14! - 13! + 12! + 11! + 10! - 8! \end{eqnarray*}$

Wie die Werte zustande kommen erkläre ich exemplarisch am Beispiel $\begin{eqnarray*} A_1\cap A_3 \end{eqnarray*}$ : Die in diesem Durchschnitt liegenden Wörter kann man als Permutation von "bus", "krieg" sowie den restlichen 9 Einzelbuchstaben "M,o,l,f,n,p,ä,c,h" auffassen, das sind insgesamt 11 Elemente, und damit $\begin{eqnarray*} \left|A_1\cap A_3\right| = 11! \end{eqnarray*}$ .

16.01.2020, 14:21

Leopold

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Ich betrachte drei Ereignisse:

$\begin{align*} B = \text{bus im Wort enthalten} \end{align*}$

$\begin{align*} L = \text{loch im Wort enthalten} \end{align*}$

$\begin{align*} K = \text{krieg im Wort enthalten} \end{align*}$

Weiter sei $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ die Gesamtmenge aller bildbaren Wörter. Das Gegenereignis bezüglich $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ bezeichne ich mit einer Überstreichung, Mächtigkeiten mit senkrechten Strichen. Zu bestimmen ist $\begin{align*} \left| \overline{B} \cap \overline{L} \cap \overline{K} \right| \end{align*}$ . Mit der Regel von de Morgan und der Siebformel berechnet man

$\begin{align*} \left| \overline{B} \cap \overline{L} \cap \overline{K} \right| = \left| \overline{B \cup L \cup K} \right| = \left| \Omega \right| - \left| B \cup L \cup K \right| \end{align*}$

$\begin{align*} = \left| \Omega \right| - \left| B \right| - \left| L \right| - \left| K \right| + \left| B \cap L \right| + \left| B \cap K \right| + \left| L \cap K \right| - \left| B \cap L \cap K \right| \end{align*}$

Offenbar ist $\begin{align*} \left| \Omega \right| = 17! \end{align*}$ . Als Beispiel nehme ich einmal die Berechnung von $\begin{align*} \left| B \right| \end{align*}$ . Das Wort "bus" betrachte ich als Block B. Drei Buchstaben fallen weg, der Block B kommt dazu: $\begin{align*} 17-3+1 = 15 \end{align*}$ . Zu permutieren sind daher 15 Zeichen. Zwei Beispiele:

lghiokäeMfrBpnc = lghiokäeMfrbuspnc, eläBgcipnMrfkoh = eläbusgcipnMrfkoh

Folglich gilt $\begin{align*} \left| B \right| = 15! \end{align*}$ . Jetzt berechne entsprechend die weiteren Summanden.

EDIT
Jetzt hat ITSler ja gleich zwei sich nur in den Bezeichnern unterscheidende Lösungen.

16.01.2020, 16:49

HAL 9000

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Immerhin sind wir uns bei Symbolwahl $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einig. Augenzwinkern

16.01.2020, 18:11

Leopold

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Jetzt muß ITSler nur noch entscheiden, welche Darstellung ihm besser gefällt, deine oder meine. Und wehe, er nimmt die falsche! Schon einmal hat ein schöner Jüngling der falschen Göttin den Apfel dargereicht, und es kam zum Krieg zwischen Okzident und Orient. Zehn Jahre hat er gedauert, bis heute flammt er immer wieder neu auf. Lehrer

Mal schauen, wie ITSler sich aus der Affäre zieht … Augenzwinkern

16.01.2020, 19:30

HAL 9000

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Wo bekommt man das Zeug, das du da einwirfst? Teufel

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