Funktionswert einer Matrix mit Spektralsatz ermitteln

14.01.2020, 16:42	judge	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionswert einer Matrix mit Spektralsatz ermitteln Hallo liebe matheboard'ler! Ich brüte seit einigen Tagen über einer Aufgabe und komme kurz vorm Ziel einfach nicht weiter... Aufgabenstellung: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2+2x+1 \end{eqnarray}$ , die als Matrixfunktion für die Matrix $\begin{eqnarray} \underline{\underline{A}} \end{eqnarray}$ benutzt werden soll. Ermitteln Sie den Funktionswert $\begin{eqnarray} \underline{\underline{f}}(\underline{\underline{A}}) \end{eqnarray}$ mit dem Spektralsatz. $\begin{eqnarray} \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 7 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe also die Eigenwerte und Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren bestimmt: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2,3} = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{x_3} = \begin{pmatrix} -1/9 \\ 1/9 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach $\begin{eqnarray} \underline{\underline{U}} \end{eqnarray}$ (über die Eigenvektoren) und $\begin{eqnarray} \underline{\underline{U}}^{-1} \end{eqnarray}$ aufgestellt: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{U}} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1/9 \\ -1 & 0 & 1/9 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \underline{\underline{U}}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In allen anderen Aufgaben habe ich dann die einzelnen Projektoren mit den jeweiligen Teilen (zusammengehörende Hauptvektoren) von $\begin{eqnarray} \underline{\underline{U}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \underline{\underline{U}}^{-1} \end{eqnarray}$ erzeugt. Ein dreifacher Eigenwert (und sonst keiner) ist mir bisher noch nicht untergekommen und jetzt habe ich das Problem, dass mein Projektor $\begin{eqnarray} \underline{\underline{P}} \end{eqnarray}$ nach der üblichen Herangehensweise natürlich die Einheitsmatrix ist: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{P}}=\underline{\underline{U}}\otimes \underline{\underline{U}}^{-1} \end{eqnarray}$ Damit komme ich aber am Ende des Spektralsatzes nicht auf das richtige Ergebnis... Ist mein Ansatz mit der Bestimmung der Projektoren für diesen Fall falsch oder liegt mein Fehler woanders? Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! Viele Grüße, judge
15.01.2020, 15:49	judge	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann meine Frage schlussendlich selbst beantworten: der Projektor wird in diesem Fall zur Einheitsmatrix. Ich hatte einen anderen Fehler in der Berechnung, wodurch ich nicht auf das richtige Ergebnis gekommen bin.

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