Nullstelle bei Term mit Summenzeichen und Euler

15.01.2020, 14:17

slleenyJoe

Nullstelle bei Term mit Summenzeichen und Euler

Meine Frage:
Folgende Gleichung soll nach x aufgelöst werden:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{j=1}^{n} a_j*(u_j - \frac{e^{x*a_j}}{e^{a_j*b_j}+e^{x*a_j} } ) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Kann hierbei das Summenzeichen ignoriert werden und so nach x aufgelöst werden oder wie muss dieses behandelt werden?

15.01.2020, 14:36

Steffen Bühler

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RE: Nullstelle bei Term mit Summenzeichen und Euler
Ignorierst Du das Summenzeichen, entgehen Dir eventuell weitere Lösungen. Denn wenn alle Summenglieder Null sind, ist natürlich auch die Summe Null. Es kann aber, je nach den verschiedenen Variablen, durchaus sein, dass positive und negative Summenglieder entstehen, die sich dann ebenfalls zu Null addieren. Ist denn irgendwas über $\begin{eqnarray*} a_j, b_j, u_j \end{eqnarray*}$ bekannt?

Viele Grüße
Steffen

15.01.2020, 15:36

slleenyJoe

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lediglich die Wertebereiche der variablen a und b sind bekannt
[latex]
b_{j} \in \left(-\infty, \infty \right)
\\
a_{j} \in \left[0,\infty\right)
[\latex]

Selbst wolfram alpha scheint damit überfordert, weswegen ich mir über die Machbarkeit der ganzen Sache gedanken mache

15.01.2020, 17:14

Steffen Bühler

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Ein paar Gedanken:

Der Wert des Bruchs kann nur im Intervall (0;1) liegen, da die e-Funktion immer positiv ist. Wenn die a-Werte weiterhin alle positiv sind, kann man den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ ignorieren.

Also ergeben die n Bruchterme eine Zahl zwischen 0 und n.

Es liegt somit nur an den u-Werten, ob die Gesamtsumme Null ist. Wenn man hier gar nichts weiß, kommt man in der Tat wohl nicht weiter.

So kann man nur schließen, dass die Summe der u-Werte mit der Bruchtermsumme identisch sein muss, also ebenfalls den genannten Wert zwischen Null und n hat, wenn die Gleichung aufgehen soll.

Auf x kann man damit allerdings keineswegs schließen. Gibt es einen Hintergrund zu dieser Gleichung?

15.01.2020, 22:35

Ulrich Ruhnau

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RE: Nullstelle bei Term mit Summenzeichen und Euler

Zitat:

Original von slleenyJoe
Meine Frage:
Folgende Gleichung soll nach x aufgelöst werden:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{j=1}^{n} a_j*(u_j - \frac{e^{x*a_j}}{e^{a_j*b_j}+e^{x*a_j} } ) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Um da etwas Übersicht hineinzubringen würde ich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j\left(u_j - \frac{e^{xa_j}}{e^{a_jb_j}+e^{xa_j} } \right) = 0 \end{eqnarray*}$

umstellen und das x nach rechts bringen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j u_j = \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{a_j e^{xa_j}}{e^{a_jb_j}+e^{xa_j}} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich gerne das x auf eine Stelle in der Gleichung konzentrieren, indem ich den rechten Bruch durch $\begin{eqnarray*} e^{xa_j} \end{eqnarray*}$ kürze.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j u_j = \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{a_j}{e^{a_j(b_j-x)}+1} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung bezieht sich auf Fermistatistik. Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist hier das Ferminiveau, welches in der Physik normalerweise mit µ abgekürzt wird. Der Wert $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ ist in Wirklichkeit die Fermifunktion, die hier gegeben ist durch

$\begin{eqnarray*} u_j=\frac 1{e^{a_j(b_j-x)}+1} \end{eqnarray*}$ und die Wahrscheinlichkeit angibt, mit welcher der Zustand j besetzt ist.

Die $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ sind positiv. Falls $\begin{eqnarray*} b_j > x \end{eqnarray*}$ liegt der Zustand j über dem Ferminiveau, was bedeutet, daß der Zustand mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als 50 % besetzt ist. Im Umgekehrten Fall $\begin{eqnarray*} b_j < x \end{eqnarray*}$ liegt der Zustand unter dem Ferminiveau und ist mit größerer Wahrscheinlichkeit besetzt als unbesetzt.

Wir brauchen also nur ein $\begin{eqnarray*} u_j, a_j, b_j \end{eqnarray*}$ - Tupel zu kennen, damit wir das Ferminiveau x bestimmen können.

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