Flaeche mithilfe Limes berechnen

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15.01.2020, 15:26	fritzi6	Auf diesen Beitrag antworten »
Flaeche mithilfe Limes berechnen Meine Frage: Wie kann ich die Flaeche unter $\begin{eqnarray} y=\sqrt{16-x^{2} } \end{eqnarray}$ mithilfe von $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} f(c_{i})\cdot\ \Delta x \end{eqnarray}$ berechnen Meine Ideen: Jeglicher Ansatz resultierte in keinem Ergebnis
15.01.2020, 15:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Funktion stellt einen Halbkreis dar, deren Fläche sich mit bekannten Flächenformeln bestimmen läßt. Am besten postest du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut.
15.01.2020, 20:13	fritzi6	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine genaue Aufgabenstellung, Reines Interesse. Ich möchte Fläche unter dem Graphen berechnen. Mir ist bewusst, dass das mit einem Integral auch möglich ist, möchte dieses aber bewusst vermeiden
15.01.2020, 21:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn du das hier als Integralaufgabe verkleidest, geht es doch in Wahrheit um die Flächenberechnung eines Kreises. Da eignen sich Riemannsche Rechtecksummen eher nicht. Stattdessen würde ich den klassischen Weg vorschlagen, wie er seit Archimedes begangen wird: Approximation durch regelmäßige Polygone, deren Eckenzahl sukzessive verdoppelt wird. Dafür gibt es wunderhübsche und einfache Formeln, die zum klassischen Resultat, der Zahl $\begin{align} \pi \end{align}$ , führen. Vielleicht beginnst du die Suche mal mit dem Gregory-Verfahren.
15.01.2020, 22:48	fritzi6	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis. Allerdings wundere ich mich trotzdem, warum der riemannsche Ansatz in diesem Fall resultatlos bleibt
16.01.2020, 09:14	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso bleibt er resultatlos? Es ist doch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \Bigg( \sqrt{16-\left( \frac {4i}n \right)^2} \cdot \left( \frac 4n \right) \Bigg) = 4 \pi \end{eqnarray}$ , was der Fläche unter der Kurve von 0 bis 4 entspricht. Viele Grüße Steffen
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16.01.2020, 12:57	fritzi6	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man aber darauf?
16.01.2020, 14:52	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das überlasse ich dem Studenten zur Übung. Nein, im Ernst: ich hab gestern eine Stunde lang rumgerechnet und kann die Vereinfachung $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac {\sqrt{n^2-i^2}}{n^2}= \frac {\pi}4 \end{eqnarray}$ ebenfalls nicht beweisen, auch wenn es numerisch klar ist. Eventuell gibt es eine Umformung, die wir nicht sehen, vielleicht sieht es jemand anders. Viele Grüße Steffen
16.01.2020, 15:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \pi \end{align}$ ist etwas Neues. Wenn es sich aus anderem auf einfache Weise ergäbe, bräuchte man für $\begin{align} \pi \end{align}$ keinen eigenen Namen. Hätte zum Beispiel ein Kreis vom Radius 1 den Flächeninhalt 3, denn käme niemand auf die Idee, für etwas, das schon den Namen "3" besitzt, den Namen " $\begin{align} \pi \end{align}$ " einzuführen. Da alle Kreise untereinander ähnlich sind, muß das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser konstant sein. Die klassische Definition bezeichnet dieses Verhältnis als $\begin{align} \pi \end{align}$ . Man könnte $\begin{align} \pi \end{align}$ auch über den Flächeninhalt des Einheitskreises definieren: $\begin{align} \pi = \text{Flächenmaßzahl des Einheitskreises} \end{align}$ Legt man die letzte Definition zugrunde, dann berechnet das Integral $\begin{align} \int_0^1 \sqrt{1-x^2} ~ \dd x \end{align}$ den Inhalt des Vierteleinheitskreises, also $\begin{align} \frac{\pi}{4} \end{align}$ . Da dieses Integral aber durch der Grenzwert einer Riemannsumme ist, berechnet auch diese Riemannsumme $\begin{align} \frac{\pi}{4} \end{align}$ : $\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sqrt{n^2-i^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} ~ \dd x = \text{Inhalt des Vierteileinheitskreises} = \frac{\pi}{4} \end{align}$
16.01.2020, 17:29	fritzi6	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet das, dass es keine Umformung fuer den Ausdruck gibt, um auf das erwuenschte Ergebnis zu kommen?
16.01.2020, 18:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Als ich deine Frage las, dachte ich erst, dir ginge es um die numerische Berechnung des Integrals. Da das Integral eine Halbkreisfläche angibt, also um die numerische Berechnung letztlich der Kreisfläche. Deshalb habe ich dir vorgeschlagen, den klassischen Weg mit den regelmäßigen Polygonen einzuschlagen. Denn Riemann-Summen sind hierfür zwar auch möglich, aber numerisch nicht so geeignet. Dann merkte ich, daß es dir um etwas anderes geht. Du willst diese Riemann-Summe gar nicht zur numerischen Berechnung verwenden, sondern sie als abstrakten Formel-Term irgendwie umformen, daß am Ende ein "vernünftiges" Ergebnis da steht. Ich glaube, daß du den "Stein der Weisen" suchst, also den Zauberterm für $\begin{align} \pi \end{align}$ , so in der Art $\begin{align} \pi = \sqrt[3]{ \sqrt{891} + \sqrt[5]{2}} \end{align}$ Da kommst du 150 Jahre zu spät. Mach dich auf die Suche nach Ferdinand von Lindemann.
16.01.2020, 18:14	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zumindest (und vielleicht auch fritzi6) hatte mir den Kopf zerbrochen, ob man den Ausdruck $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac {\sqrt{n^2-i^2}}{n^2}=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ so umformen kann, dass eben z.B. sowas wie die bekannten Ausdrücke $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt {\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^2}}\cdot \frac {\sqrt 6}4=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ herauskommt...
16.01.2020, 18:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht meiner Erfahrung nach nicht. Dennoch: ...
16.01.2020, 19:46	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, schade, dass Ramanujan so früh gestorben ist.

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