Wikipedia: "Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig"
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15.01.2020, 18:46 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Wikipedia: "Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig"
Meine Frage:
Hallo zusammen,

mich irritiert der Wikipedia-Artikel zum vollständigen Raum (https://de.wikipedia.org/wiki/Vollständiger_Raum), wo es einleitend heißt:
"Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl Wurzel(2) nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen Wurzel(2) und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren."

Nun ist aber jeder normierte, endlichdimensionale Raum, vollständig (wie sich etwa im Wiki-Artikel zum Banachraum, https://de.wikipedia.org/wiki/Banachraum, findet). endlichdimensional sollte der "Raum der rationalen Zahlen" aber ja wohl sein.

Meine Ideen:
Wie passt das zusammen? In der Artikeldiskussion wird das Beispiel der rationalen Zahlen zwar als "ungünstig", aber nicht als fehlerhaft erwähnt. Werden hier verschiedene Raum-Begriffe verwendet? Ist es ein Fehler? Oder übersehe ich schlicht etwas?
15.01.2020, 18:59 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Robin2000
Nun ist aber jeder normierte, endlichdimensionale Raum, vollständig (wie sich etwa im Wiki-Artikel zum Banachraum, https://de.wikipedia.org/wiki/Banachraum, findet)

Da hast du aber ziemlich schief gelesen. Wo in dem Wikibeitrag soll sich denn diese (falsche) Aussage finden? unglücklich
15.01.2020, 19:00 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Wo steht, dass jeder normierte endlichdimensionale Raum vollständig ist ? Das kann nicht sein.
16.01.2020, 09:26 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Da hast du aber ziemlich schief gelesen. Wo in dem Wikibeitrag soll sich denn diese (falsche) Aussage finden? unglücklich


unter "Sätze und Eigenschaften", vierter Punkt:

"Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist ein Banachraum. Umgekehrt ist ein Banachraum, der eine höchstens abzählbare Hamelbasis besitzt, endlichdimensional. Letzteres ist eine Konsequenz aus der Baireschen Eigenschaft vollständiger metrischer Räume."
16.01.2020, 10:09 tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Ein normierter Raum ist per Definition ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen.

Erfüllt dein Vektorraum diese Bedingung?
16.01.2020, 10:21 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
Ein normierter Raum ist per Definition ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen.

Erfüllt dein Vektorraum diese Bedingung?


Wiki: "...Raum der rationalen Zahlen...", also bez. dieser Definition nein. Daher meine Frage nach verschiedenen Raum-Begriffen: einen Vektorraum und Raum hier Unterschiedliches und wie verhält sich das zu "vollständiger Raum" bzw. "Banachraum"?
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16.01.2020, 10:28 tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Raum an sich ist kein genau definierter mathematischer Begriff.

Der wird in dem Wikipediaartikel aber auch nirgends verwendet.
"vollständiger Raum" und "normierter Raum" sind Begriffe mit einheitlicher Definition, genauso "Banachraum".
16.01.2020, 10:47 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
Der wird in dem Wikipediaartikel aber auch nirgends verwendet.

Eben doch, zweiter Satz im Artikel zum vollständigen Raum, als "Raum der rationalen Zahlen". Das ist der Ausgangspunkt meiner Verwirrung.
16.01.2020, 11:26 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wiki-Artikel über vollständige Räume spricht von metrischen Räumen. Der Artikel über Banachräume spricht von normierten Vektorräumen. Das sind verschiedene Dinge, deshalb kann es keine Verwirrung geben.
16.01.2020, 13:44 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Die Unterscheidung lichtet dann auch meine Verwirrung smile
16.01.2020, 14:28 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Wo steht, dass jeder normierte endlichdimensionale Raum vollständig ist ? Das kann nicht sein.

Die Aussage hier verwirrt mich doch noch. Jetzt noch Zitat von der Wiki-Seite "Vollständiger Raum", unter Beispiele (Punkt 6):

"Jeder endlichdimensionale normierte Raum, [...], ist mit der von der Norm abgeleiteten Metrik vollständig. Einen vollständigen normierten Raum nennt man Banachraum."

Stößt du dich bei meiner Aussage daran, dass ich die "von der Norm abgeleitete Metrik" nicht erwähnt habe? ansonsten scheinen mir die doch gleich.
16.01.2020, 14:43 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stoße mich an gar nichts. Was soll denn ein endlichdimensionaler Raum sein, wenn nicht ein Vektorraum ? Ein metrischer Raum hat keine Dimension. Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig, auch nicht, wenn man sie als eindimensionalen Vektorraum über den rationalen Zahlen versteht. Es bringt nichts, die Begriffe durcheinander zu werfen.
16.01.2020, 14:49 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber , versehen mit der Metrik , ist doch gar nicht vollständig. verwirrt
16.01.2020, 15:01 Robin2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich stoße mich an gar nichts. Was soll denn ein endlichdimensionaler Raum sein, wenn nicht ein Vektorraum ? Ein metrischer Raum hat keine Dimension. Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig, auch nicht, wenn man sie als eindimensionalen Vektorraum über den rationalen Zahlen versteht. Es bringt nichts, die Begriffe durcheinander zu werfen.

Ja, das habe ich (glaube ich verstanden). ich habe normierter Raum/metrischer Raum durcheinandergeworfen.

Mir geht es nur noch um dein: "Wo steht, dass jeder normierte endlichdimensionale Raum vollständig ist? Das kann nicht sein." Das steht meinem Verständnis nach an der von mir erwähnten Stelle im Wiki-Artikel ("Vollständiger Raum", unter Beispiele (Punkt 6)).
Wenn ich da noch etwas durcheinanderwerfe, tue ich das Gewiss nicht absichtlich, sondern weil ich etwas noch nicht verstanden habe, und ich würde mich freuen, es mit deiner Hilfe noch zu verstehenAugenzwinkern
16.01.2020, 15:12 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gut aufgepaßt. Nicht einschüchtern lassen. Augenzwinkern
16.01.2020, 17:17 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wikipedia Artikel sagt, dass ein Banachraum ein vollständiger normierter Vektorraum über R oder C ist. Q ist kein reeller und kein komplexer Vektorraum.
Du kannst nichts dafür, dass Wiki schlampig formuliert. Das zeigt uns wieder einmal, dass jeder Satz stets zusammen mit allen seinen Voraussetzungen formuliert werden muss.
16.01.2020, 17:45 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Wikipedia-Artikel Vollständiger Raum findet man tatsächlich die folgende Formulierung:

Zitat:
Jeder endlichdimensionale normierte Raum, beispielsweise der Raum der reellen oder komplexen Matrizen bzw. mit einer Matrixnorm, ist mit der von der Norm abgeleiteten Metrik



vollständig. Einen vollständigen normierten Raum nennt man Banachraum.


Das klingt in der Tat so, als wäre auch , versehen mit der Betragsnorm, vollständig. Und das kann ja nicht stimmen. Das Problem liegt im Begriff "normierter Raum" versteckt. Folgt man dem Wikipedia-Link zu normierter Raum, steht dort in der Tat aber

Zitat:
Ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen und eine Norm auf , dann nennt man das Paar einen normierten Vektorraum.


Es ist letztlich alles in Ordnung. ist ja hier konkret genannt, damit ausgeschlossen. Trotzdem verwirrend.
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