Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion

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DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Meine Frage:
Habe folgendes AWP gegeben:
y''+y=-6sin(x)
y(0)=1
y'(0)=1

Ich versuche mich gerade dran das Problem zu lösen. Einen Teil habe ich bereits gelöst(homogenen Teil).
Habe bei der Ansatzfunktion ein Problem, das die Musterlösung für mich nicht nachvollziehbar ist.

Meine Ideen:
Mit dem Lambda-Ansatz bin ich auf die zwei Eigenwerte Lambda12=+-i gekommen.

Nun zur Lösung des inhomogenen Teils.
Habe die Ansatzfunktion y_p=Acos(x)+Bsin(x) genommen.Zweimal abgeleitet und dann in die DGL eingesetzt.
Das Problem ist: In der Musterlösung lautet die Funktion y_p=A*x*cos(x)+B*x*sin(x).

Woher kommt dieses x vor dem cos und sin ?
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Hallo,

wenn die Inhomogenität ist und eine einfache Nullstelle des charakteristischen polynoms ist, dann muss der Ansatz lauten . Dies triff hier zu weil die trigonometrischen Funktionen sich mit Hilfe von darstellen lassen.

Gruß pwm
 
 
DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Zitat:
Original von PWM
Hallo,

wenn die Inhomogenität ist und eine einfache Nullstelle des charakteristischen polynoms ist, dann muss der Ansatz lauten . Dies triff hier zu weil die trigonometrischen Funktionen sich mit Hilfe von darstellen lassen.

Gruß pwm



Hallo, vielen Dank für die Antwort smile

also gilt dieser Ansatz A*x*cos(x)+B*x*sin(x) immer, wenn der homogene Anteil "einfache" Nullstellen hat und die rechte Seite vom Typ einer Trigonmetrische Funktion ist ?
Wann benutze ich dann den Ansatz A*cos(x)+B*sin(x)??

mfg
Donkeykong99
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Zitat:
verbessertes Original von DonkeyKong99
Meine Frage:
Habe folgendes AWP gegeben:

mit

In der Musterlösung lautet die Funktion .

Woher kommt dieses x vor dem cos und sin ?

Diese Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung wird als harmonischer Oszillator bezeichnet. Dabei ist das anregende Glied.

Bei Linearen DGLs löst man zuerst den homogenen Teil.
Die Homogene Lösung lautet wobei die Konstanten A und B frei wählbar sind, oder später an die Randbedingungen angepaßt werden müssen, sofern diese vorhanden sind.

Nun gibt es aber noch einen anregenden Teil, hier sodaß wir eine partikuläre Lösung suchen, mit der die ganze DGL erfüllt wird. Dafür machen wir den Ansatz

Das leiten wir zwei mal ab:



Diese beiden Ausdrücke müssen nur noch in unsere DGL eingesetzt werden, wobei wegen einiges herausfällt. Übrig bleibt dann:

bzw.



Der Vergleich beider Seiten der Gleichung legt und nahe. Übrig bleibt dann:

bzw.

bedeutet und .
bedeutet und. Jetzt setzen wir das auch noch ein.

bzw.
Die Gesamtlösung der Gleichung lautet dann:



Man erkennt das die Konstanten A und B zu a_2 und b_1 redundant sind. Deshalb lasse ich den homogenen Teil der Lösung weg.




Nun kommen die Randbedingungen ins Spiel.


also

Damit ist die Lösung, die die Randbedingungen erfüllt, fertig:



Das heißt letztlich, daß unser Harmonische Oszillator mit der Zeit immer stärker schwingt, da er ja immer nur angeregt wird und außerdem keine Dämpfung hat.
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Hallo,

nochmal zu meinem Post: Für den Ansatz vom Typ der rechten Seite gilt: Wenn die Inhomogenität lautet, dann ist der Ansatz . Ausnahme: s ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, dann ist der Ansatz . Ausnahme davon: s ist mehrfach Nullstelle ....

Diese Aussage gilt insbesondere für komplexe s. In Deinem Beispiel ist die Inhomogenität eine Linearkombination aus und und ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, daher ist der Ansatz eine Linearkombination aus und , was dann wieder mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen umgeschrieben ist.

Der "einfache" Ansatz wäre erfolgreich, wenn nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms wäre.

Gruß pwm
DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Vielen Lieben Dank für die sehr ausführliche Erklärung der Aufgabe .
DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Zitat:
Original von PWM
Hallo,

nochmal zu meinem Post: Für den Ansatz vom Typ der rechten Seite gilt: Wenn die Inhomogenität lautet, dann ist der Ansatz . Ausnahme: s ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, dann ist der Ansatz . Ausnahme davon: s ist mehrfach Nullstelle ....

Diese Aussage gilt insbesondere für komplexe s. In Deinem Beispiel ist die Inhomogenität eine Linearkombination aus und und ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, daher ist der Ansatz eine Linearkombination aus und , was dann wieder mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen umgeschrieben ist.

Der "einfache" Ansatz wäre erfolgreich, wenn nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms wäre.

Gruß pwm


Danke für diesen wichtigen Hinweis. Das hat mir gefehlt.
DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare inhomogenes AWP - Ansatzfunktion
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Zitat:
verbessertes Original von DonkeyKong99
Meine Frage:
Habe folgendes AWP gegeben:

mit

In der Musterlösung lautet die Funktion .

Woher kommt dieses x vor dem cos und sin ?

Diese Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung wird als harmonischer Oszillator bezeichnet. Dabei ist das anregende Glied.

Bei Linearen DGLs löst man zuerst den homogenen Teil.
Die Homogene Lösung lautet wobei die Konstanten A und B frei wählbar sind, oder später an die Randbedingungen angepaßt werden müssen, sofern diese vorhanden sind.

Nun gibt es aber noch einen anregenden Teil, hier sodaß wir eine partikuläre Lösung suchen, mit der die ganze DGL erfüllt wird. Dafür machen wir den Ansatz

Das leiten wir zwei mal ab:



Diese beiden Ausdrücke müssen nur noch in unsere DGL eingesetzt werden, wobei wegen einiges herausfällt. Übrig bleibt dann:

bzw.



Der Vergleich beider Seiten der Gleichung legt und nahe. Übrig bleibt dann:

bzw.

bedeutet und .
bedeutet und. Jetzt setzen wir das auch noch ein.

bzw.
Die Gesamtlösung der Gleichung lautet dann:



Man erkennt das die Konstanten A und B zu a_2 und b_1 redundant sind. Deshalb lasse ich den homogenen Teil der Lösung weg.




Nun kommen die Randbedingungen ins Spiel.


also b_1=-2

Damit ist die Lösung, die die Randbedingungen erfüllt, fertig:



Das heißt letztlich, daß unser Harmonische Oszillator mit der Zeit immer stärker schwingt, da er ja immer nur angeregt wird und außerdem keine Dämpfung hat.



Vielen Dank für die Mühe und die ausführliche Erklärung.
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