Binäre Verknüpfungen

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Reynevan Anselmus Auf diesen Beitrag antworten »
Binäre Verknüpfungen
Kann mir bitte jemand sagen ob die Lösungen korrekt sind und gegebenfalls weiterhelfen.

Auf der Menge der rationalen Zahlen sei die binäre Operation O folgend definiert:
O : QxQ -> Q mit a O b := a+b-ab ; für alle a,b als Elemente von Q.

kommutativ? ja! Denn a O b = b O a -> a+b-a*b = b+a-b*a
Ich denke das reicht als Beweis?

assoziativ? Nein! Denn a O b = (a+b - a)*b =! a+(b-a*b)

neutrales Element? 0! Denn a O 0 = a und 0 O a = a

Soviel dazu... letztlich soll ich noch lösen, welche Zahlen a aus Q ein inverses Element a* besitzen.

Ich weiß, dass das Inverse immer zum neutralen Element führt, in diesem Fall also 0.

Dh.: a O a* = a* O a = 0

-> a + a* - a * a* = 0

doch verstehe ich gerade nicht wie ich diese Zahlen finden soll und ist das Inverse denn konstant oder variabel?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Löse die letzte Zeile nach a* auf! Es gibt allerdings nicht zu jedem a sein inverses Element ..

mY+
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachtet man die Funktion definiert über , so stellt man hier fest

.

Damit ist via Bijektion isomorph zu . Kommutativität und Assoziativität letzterer Struktur übertragen sich dann automatisch auch auf erstere Struktur. In letzterer Struktur ist 1 das neutrale Element und 0 nicht invertierbar, das bedeutet für ersteres :

Dort ist neutrales Element, während nicht invertierbar ist. D.h., nach Wegnahme dieses Elements ist eine Gruppe.
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