Pfad eines stochastischen Prozesses

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Pfad eines stochastischen Prozesses
Vor einiger Zeit habe ich bereits eine ähnliche Frage gestellt, aber eine Feinheit hat wieder Unsicherheit in mir aufgebracht:

Gegeben einen stochastischen Prozess , wobei t eine beliebige Indexmenge sein soll. Die seien identisch und unabhängig verteilt und auf dem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definiert.

Meine Frage:
Wenn man einen Pfad betrachtet, d.h.

, wobei konstant ist, wieso ist keine konstante Funktion? Ich weiß aus eigenen praktischen Anwendungen, dass jedes als unabhängige Ziehung betrachtet werden muss, aber aus der Definition geht meines Erachtens nicht hervor, dass dem so ist. Ich habe nun im Internet zwei Lösungen zu dieser Frage gefunden:

i) Es handelt sich in diesem Fall bei tatsächlich um ein kartesisches Produkt und ist entsprechend kein Skalar und jede Zufallsvariable "schneidet" sich seine zugehörige Ziehung aus dem Vektor aus. Ich habe noch keine Definition von stochastischen Prozessen gesehen, aus der das hervorginge.

ii) Identisch verteilt impliziert nicht, dass die Abbildungen identisch sind. Das ist sicher korrekt, wie z.B. bei X(0) = 1, X(1) = 0 und Y(0) = 0 und Y(1) = 1 zeigt, wenn 0 und 1 gleichwahrscheinlich sind. Die Antwort bereitet mir etwas Bauchschmerzen, da ich z.B. bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen auf denen ein stochastischer Prozess mit unendlicher Indexmenge zwingend tatsächlich identische Zufallsvariablen haben muss. Das mutet mir seltsam an, dass je nach Fall manche X_t identisch sein müssen.

Kann mir jemand helfen?
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh, also die Unabhängigkeit müsste eigentlich zwingend erfordern, dass die Erklärung i) korrekt ist. Denn würde durch eine Realisierung eines X_t die Realisierung eines X_s mit s ungleich t beeinflussen, so wären sie ja nicht unabhängig.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pfad eines stochastischen Prozesses
Zitat:
i) Es handelt sich in diesem Fall bei tatsächlich um ein kartesisches Produkt und ist entsprechend kein Skalar und jede Zufallsvariable "schneidet" sich seine zugehörige Ziehung aus dem Vektor aus.


Genauso ist es. Nimm zum Beispiel den stochastischen Prozess eines unendlichen Münzwurfs, so könnte ein z.B. so aussehen:



Die Zufallsvariable könnte dann z.b. so definiert sein, dass sie das Wurfergebnis aus dem t-ten Wurf angibt, also: , , , ,...

Viele Grüße,
Nils
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pfad eines stochastischen Prozesses
Zitat:
Original von Namenloser324
Die Antwort bereitet mir etwas Bauchschmerzen, da ich z.B. bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen auf denen ein stochastischer Prozess mit unendlicher Indexmenge zwingend tatsächlich identische Zufallsvariablen haben muss.

Das ist richtig, nur: Nenn mir mal einen solchen endlichen (!) Wahrscheinlichkeitsraum, wo bei unendlicher Indexmenge und einer nichttrivialen Verteilung (d.h. nicht konstant) der tatsächlich Unabhängigkeit vorliegt?

Selbst bei so einem einfachen Problem wie einer solchen unendlichen Münzwurffolge muss der W-Raum überabzählbar sein, damit eine solche Unabhängigkeit gewährleistet ist. Augenzwinkern

Insofern ist diese Einengung auf endliche Wahrscheinlichkeitsräume bei Prozessen mit unendlicher Indexmenge schlicht praxisfern.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank euch beiden!

@Nils
Ist dir ein Buch oder Skript oder ähnliches bekannt, wo diese Tatsache klar aus der Definition hervorgeht (Ich würde gerne verstehen, wo ich die Definition falsch verstanden habe, d.h. wo ich die richtige Antwort aus der Definition hätte herauslesen können)? Ich habe vor dem Erstellen dieses Threads noch einige Quellen angeschaut und nach meinem Mathematikverständnis war überhaupt nicht offenkundig, dass tatsächlich die Menge der Elementarereignisse einem kartesischen Produkt (und man Vektoren zieht) entspricht. Ich kenne zwar den sogenannten Klonsatz aus einem Stochsatikbuch, der genau die Frage beantwortet ob es stochastische Prozesse mit unabhängigen (und identisch verteilten) Zufallsvariablen gibt. Dort wurde jedoch die Ergebnismenge auch explizit als kartesisches Produkt gekennzeichnet.

@HAL9000
Guter Einwand, danke!
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde dieses Skript ganz gut:

docplayer.org/8486037-Einfuehrung-in-die-wahrscheinlichkeitstheorie.html

Sieh mal auf Seite 57. Das Stichwort lautet "Produktraum" oder "Produktmaß". Das Problem bei solchen unendlichen Produkträumen ist übrigens eine geeignete sigma-Algebra zu finden. Die Potenzmenge P(Omega), die bei endlichen Räumen üblicherweise verwendet wird, stellt sich nämlich als zu groß heraus.

Viele Grüße,
Nils

P.S.: ich konnte den vollständigen Link leider nicht posten, weil die Forensoftware gemeckert hat. Aber wenn du die obige Adresse direkt in den Browser kopierst, müsste sich das Skript öffnen.
 
 
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