F und g simultan diagonalisierbar und g verknüpft mit f

17.01.2020, 12:51	GSHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
F und g simultan diagonalisierbar und g verknüpft mit f Meine Frage: siehe anhang Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> f(g(v))= f(av) = af(v) = abv = bg(v)=g(bv)=g(f(v))<br /> weil Eigenvektoren von f und g kann man f(x) =bx und g(x)=ax schreiben <br /> \end{eqnarray*}$
17.01.2020, 13:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist sicher gut, aber der Beweis muss viel ausführlicher geführt werden.
17.01.2020, 16:19	GSHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
B ist Basis sei also jedes x als $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} aibi \end{eqnarray}$ darstellbar Da b1,...,bn eigenvektoren von g und f sind gilt f(bi)=yibi und g(bi)=xibi $\begin{eqnarray} <br /> f(g(x)=f(g(\sum\limits_{i=1}^{n} aibi )=f(g(a1b1)+g(a2b2)+...+g(anbn)=f(g(a1b1))+f(g(a2b2))+...+f(g(anbn))=f(a1g(b1))+f(a2g(b2))+...+f(ang(bn))=f(a1x1b1)+f(a2x2b2)+...+f(anxnbn)=a1x1f(b1)+a2x2f(b2)+...+anxnf(bn)=a1x1y1b1+a2x2y2b2+...+anxnynbn=a1y1g(b1)+a2y2g(b2)+...+anyng(bn)=g(a1y1b1)+g(a2y2b2)+...+g(anynbn)=g(a1f(b1))+g(a2f(b2))+...+g(anf(bn))=g(f(a1b1)+g(f(a2b2)+..+g(f(anbn)=g(f(\sum\limits_{i=1}^{n} aibj )=g(f(x))<br /> \end{eqnarray*}$
17.01.2020, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Sei $\begin{eqnarray} B=\{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ eine Basis aus Eigenvektoren der linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} f,g:K^n\to K^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(v_i)=b_iv_i, g(v_i)=c_iv_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\sum_{i=1}^n a_iv_i \in K^n \end{eqnarray}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray} f\circ g(x)=f(g(x))=f(g(\sum_{i=1}^n a_iv_i))=f(\sum_{i=1}^n g(a_iv_i))=f(\sum_{i=1}^n a_ig(v_i))=f(\sum_{i=1}^n a_ic_iv_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{i=1}^n f(a_ic_iv_i)=\sum_{i=1}^n a_ic_if(v_i)=\sum_{i=1}^n a_ic_ib_iv_i=\sum_{i=1}^n a_ib_ic_iv_i=\sum_{i=1}^n a_ib_ig(v_i)=\sum_{i=1}^n g(a_ib_iv_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =g(\sum_{i=1}^n a_ib_iv_i)=g(\sum_{i=1}^n a_if(v_i))=g(\sum_{i=1}^n f(a_iv_i))=g(f(\sum_{i=1}^n a_iv_i))=g(f(x))=g\circ f(x) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} f\circ g=g\circ f \end{eqnarray}$ qed
18.01.2020, 14:13	GSHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich weiß nicht genau wie man Aufgabe b) beweist: Sind b1,..,bn die verschiedenen eigenwerte dann existiert zu jeden Eigenwert ein Eigenvektor v1,...,vn. Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig. N linear unabhängige Vektoren eignen sich zum bilden eienr Basis. Jetzt gilt es mit f(g(x))=g(f(x)) zu zeigen dass diese Basis von f auch eine Basis von g ist. Also irgendwas in der Art g(x)=g(summe ci*vi)
18.01.2020, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis für (b) geht genau so locker durch wie der Beweis für (a), wenn man bereit und willens ist, alle Voraussetzungen genau aufzuschreiben und ein bißchen zu rechnen. Eine Basis ist eine Basis, B ist nicht eine Basis für f und/oder eine Basis für g. g(x)=g(summe civi) ist keine sinnvolle Voraussetzung, besser wäre $\begin{eqnarray} g(v_i)=\sum_{j=1}^nc_{ij}v_j\,,\,i=1,...,n \end{eqnarray*}$ . Wenn du nicht genau so ausführlich und schön schreibst wie ich kommst du nie zum Ziel.
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19.01.2020, 12:54	GSHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
warum hat das c zwei indizes? soll das ein matrizenelement sein?
19.01.2020, 13:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zunächst wissen wir nur, dass die $\begin{eqnarray} v_j \end{eqnarray}$ ein Basis sind und dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist.

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