Matrix Determinante Invertierbarkeit

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Kevin231 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Determinante Invertierbarkeit
Meine Frage:
1) Seien A,B ? Mat(n*n,K). Zeige, dass B invertier ist, falls AB invertier ist. Folgere dass det(AB)=0 falls det(B)=0
2)Sei det(B)=//=0, zeige dass die Abbildung f:Mat(n*n,K)->K A->det(B)^(-1) det(AB) die Eigenschaften der Determinante erfüllt.
3)Folger dass det(AB)=det(A)det(B) für alle A,B ? mat(n*n,K) gilt.

Meine Ideen:
1)Ist AB invertierbar gilt AB*(AB)^(-1)=I AB^(-1)=A^(-1)*B^(-1) also existiert A^(-1) daher ist A invertierbar

Det(AB)=Det(A)*Det(B)=Det(A)*0=0

2)muss ich hier zeigen dass det(B)^(-1)*det(AB)=det(A)?
Weiß nich genau wie ich das machen soll
Kevin231 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt für 1) AB invertierbar-> es existiert C € Mat(nxn) mit C*(AB)=I <-> (CA)*(B)=I Also ist B mit B^(-1)=CA invertierbar.
Deswegen gilt auch die Kontraposition aus B ist nicht invertierbar folgt AB ist nicht invertierbar, ist eine Matrix nicht invertier ist ihre Determinante=0 also det(B)=0->det(AB)=0

Weiß nich so richtig wie ich 2) lösen soll. Weiß auch nich genau was mit "Eigenschaften der Determinante" gemeint ist. Muss man mehr zeigen als bloß det(A)=det(B)^(-1)det(AB)?
Kevin231 Auf diesen Beitrag antworten »

det(A^(-1))*det(A)=det(AB^(-1))*det(AB))=det(B^(-1))*det(A^(-1))*det(AB)
<->det(A)=det(B^(-1))*det(AB) geht das so?
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