Matrizen

18.01.2020, 04:30

MikeKob

Matrizen

Meine Frage:
Hallo,
habe eine Matrizenaufgabe und komm nicht wirklich weiter. Es geht um Aufgabe b) die a) habe ich hinbekommen.

Meine Ideen:
Habe versucht durch Addition und Eleminierung nach x1 bzw. a aufzulösen. Komme aber nicht an mein Ziel. Ich habe Zweifel, ob mein Ansatz vom Grunde auf überhaupt richtig ist.
Würde mich freuen wenn mir jemand hilft an mein Ziel zu kommen.
LG Mike

18.01.2020, 05:02

klauss

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RE: Matrizen
Notiere die Gleichung als erweiterte Koeffizientenmatrix und führe einen Schritt des Gauß-Verfahrens durch, dann gelangst Du zu
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & (a-2)(a+4) & | & a-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Damit kannst Du eine Fallunterscheidung vornehmen, die in die Musterlösung mündet.

Gute Nacht. Wink

18.01.2020, 11:56

MikeV

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RE: Matrizen
Ich kann leider nicht nachvollziehen was du genau gemacht hast um auf die 2. Zeile zu kommen verwirrt

18.01.2020, 12:54

klauss

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RE: Matrizen
Kenntnis des Gauß-Verfahrens darf ich wohl voraussetzen.
Damit sollst Du eine 0 dort erzeugen, wo ich sie gesetzt habe.
Wie sieht dann Deine 2. Zeile aus?

18.01.2020, 13:47

MikeV

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RE: Matrizen
Ich kenne das Gaussverfahren, aber Frage mich ehrlich gesagt immer noch was alles erlaubt ist oder darf ich alles multiplizieren addieren etc. Was ich möchte, Hauptsache ich mache es mit der ganzen Zeile? Ich weiss noch, dass ich nicht den gleichen Schritt mit der gleichen Zeile 2x machen darf.

Ich habe versucht auf deinen Schritt zukommen aber irgendwie wollen meine grauen Zellen nicht unglücklich

Ich habe zwei Varianten ermittelt, würde das so gehen oder evtl. zu umständlich? Denn dazu neige ich leider manchmal

18.01.2020, 14:19

klauss

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RE: Matrizen
Also das solltest Du Dir schnellstmöglich draufschaffen, ohne Gauß gehts im Hochschulbereich nicht.
Die 2. Variante kannst Du vergessen.
Die 1. Variante wäre an sich richtig, ist aber unpraktisch angefangen und ein Rechenfehler ist auch noch drin.
Bei Angabe der Zeilenoperation sollte stehen zuerst die Zeile, die man bearbeitet, dann die Zeile, mit der man bearbeitet. Hier also: $\begin{eqnarray*} II-2a \cdot I \end{eqnarray*}$ . Denn das Ergebnis schreibt man ja in die Zeile, die man bearbeitet.
Richtig wäre zumindest (wenn man Deine Reihenfolge nähme): $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot 2a -(-4)=-2a+4 \end{eqnarray*}$
Nun kannst Du jedenfalls die 2. Zeile mit (-1) durchmultiplizieren und dann muß die Idee kommen, dass man die Terme mal faktorisieren sollte, weil in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ z. B. auch Nullzeilen bzw. Widersprüche auftreten können.

18.01.2020, 14:51

MikeV

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RE: Matrizen
Da hast du vollkommen recht darum habe ich Nachhilfe, gucke YouTube Videos, lese Literatur und bin hier um alle Register zu ziehen, damit am 05.02. Meine Mathe-1 Klausur mir auch gelingt. Bin alleinerziehender Papa und es gibt keine Alternative, als dieses Studium erfolgreich abzuschließen und ich will es auch.

Ich finde meinen Rechenfehler nicht und kann nicht so wirklich nach vollziehen wie ich auf das Ergebnis komme bei meiner Reihenfolge, welches du ermittelt hast.

Habe es jetzt noch mal gemacht und habe wieder eine quadratisches Ergebnis, ist es denn so nun überhaupt richtig, oder übersehe ich was? könnte man hier die PQ-formel anwenden, macht es überhaupt Sinn?

Oder wie fahre ich weiter fort?, vorausgesetzt mein Ergebnis ist nun das richtige.

18.01.2020, 17:52

klauss

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RE: Matrizen
Also weil die Geburt ja doch etwas mühselig ist, hier das strukturierte Vorgehen in der 2. Zeile:

Operation: $\begin{eqnarray*} II-2a \cdot I \end{eqnarray*}$
1. Eintrag: $\begin{eqnarray*} 2a - 2a \cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$ (wie gewünscht)
2. Eintrag: $\begin{eqnarray*} (8a-16) - 2a(2-a) = 2a^{2}+4a-16 \end{eqnarray*}$
(Hier warst Du schon nachlässig, weil Du in der Nebenrechnung die Klammern nicht gesetzt hast, bist aber trotzdem zum richtigen Ergebnis gekommen. Ein andermal wird es nicht so glimpflich ausgehen.)
3. Eintrag: $\begin{eqnarray*} -4 -2a \cdot (-1)=2a-4 \end{eqnarray*}$

Neue Matrix also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & 2a^{2}+4a-16 & | & 2a-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den quadratischen Termin zerlegst Du nun in Linearfaktoren nach Berechnung seiner Nullstellen, aus dem anderen kannst Du 2 ausklammern.

19.01.2020, 00:59

MikeV

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RE: Matrizen
Hab ich jetzt zum ersten mal gemacht die Zerlegung, aber konnte ich mich gut einarbeiten, Danke smile

Ist die Zerlegung genau für solche Fälle oder wie würdest du es bezeichnen, wofür sie ist?

Was passiert mit der 2, die fällt einfach weg? Brauche ich vermutlich nur um den Ausdruck wieder in seine ursprüngliche Form zu bringen, oder?

Was ist der nächste Schritt?

Lg

19.01.2020, 01:48

klauss

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RE: Matrizen
Nun, die Zerlegung ist sachdienlich, wie sich gleich zeigen wird. Kennengelernt haben wir sie erstmals in der Schule, sobald das Thema Parabeln und höhere Polynome auf dem Lehrplan steht. Und dieses Wissen setzen wir hier wieder ein, obwohl es sich um ein komplett anderes Thema handelt.
Auch hier ist aber eine Korrektur Deiner Rechnung nötig: Aus der Zerlegung folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & 2(a-2)(a+4) & | & 2(a-2) \end{pmatrix} \underrightarrow{II:2} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & (a-2)(a+4) & | & a-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so dass wir jetzt endlich an der Stelle meines ersten Beitrags angekommen sind.
Damit kann man die Fallunterscheidung machen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$
Es bleibt übrig $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ergibt welchen Lösungsvektor?

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a=-4 \end{eqnarray*}$
Es bleibt übrig $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 6 & | & -1 \\ 0 & 0 & | & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Widerspruch/unlösbar!

Fall 3: $\begin{eqnarray*} a\neq 2 \wedge a\neq -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underrightarrow{II:\left(a-2\right) } \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & a+4 & | & 1 \end{pmatrix} \underrightarrow{II:\left(a+4\right) } \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{a+4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ergibt welchen Lösungsvektor?

19.01.2020, 04:17

MikeV

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RE: Matrizen

Zitat:

Original von klauss
Nun, die Zerlegung ist sachdienlich, wie sich gleich zeigen wird. Kennengelernt haben wir sie erstmals in der Schule, sobald das Thema Parabeln und höhere Polynome auf dem Lehrplan steht. Und dieses Wissen setzen wir hier wieder ein, obwohl es sich um ein komplett anderes Thema handelt.
Auch hier ist aber eine Korrektur Deiner Rechnung nötig: Aus der Zerlegung folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & 2(a-2)(a+4) & | & 2(a-2) \end{pmatrix} \underrightarrow{II:2} \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & (a-2)(a+4) & | & a-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK, das bedeutet ich kann den Vorfaktor doch nicht einfach weglassen, was aber auch Sinn macht, wenn ich darüber nachdenke, da sich beim Gaussverfahren, immer die ganze Zeile verändert, wenn sich was ändert.

Zitat:

so dass wir jetzt endlich an der Stelle meines ersten Beitrags angekommen sind.
Damit kann man die Fallunterscheidung machen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$
Es bleibt übrig $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ergibt welchen Lösungsvektor?

Wenn ich das richtig verstanden habe ist die erste Spalte x1 und die zweite x2, in der ersten Zeile erhalte ich x1=-1 und die zweite Zeile ist nach meinem Verständnis ergebnislos bzw. 0, allerdings steht hier in der Lösung ein Lambda, wenn Lambda eine Variable darstellen soll, dann ist es wahrscheinlich die Lösung mit unendlich viele Lösungen? Wie ergibt sich das nach einer mathematischen Logik?

Zitat:

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a=-4 \end{eqnarray*}$
Es bleibt übrig $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 6 & | & -1 \\ 0 & 0 & | & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Widerspruch/unlösbar!

Der Widerspruch ergibt sich aus der 2. Zeile, weil 0 und 0 in x1 und x2 niemals -6 ergeben können, nehme ich an?

Zitat:

Fall 3: $\begin{eqnarray*} a\neq 2 \wedge a\neq -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underrightarrow{II:\left(a-2\right) } \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & a+4 & | & 1 \end{pmatrix} \underrightarrow{II:\left(a+4\right) } \begin{pmatrix} 1 & 2-a & | & -1 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{a+4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ergibt welchen Lösungsvektor?

Das Ergebnis der 2. Zeile bleibt 1? Kann ich nicht ganz nachvollziehen, was ich übersehe.

Ergibt der Lösungsvektor, in dem man Zeile für Zeile das Ergebnis ermittelt?

Kannst du bitte versuchen mir einen kleinen Einblick in deine Gedanken und Erfahrung zu geben Augenzwinkern

und mir sagen, welche Informationen aus der Aufgabenstellung für dich ausschlaggebend waren und wodurch du deine Vorgehensweise wählen konntest bzw. wodurch du wusstest wohin dein Weg dich führen soll?

19.01.2020, 19:24

klauss

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RE: Matrizen
Der Lösungsvektor ist zunächst allgemein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ näher bestimmt werden sollen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$
Die 1. Zeile liefert die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_{1}=-1 \end{eqnarray*}$ . Die 2. Zeile liefert keine weitere Information, d. h. an $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ wird keine einschränkende Bedingung gestellt.
Damit wird der Lösungsvektor zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ ist frei $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , daher kann man ihn in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ umbenennen.
Probe:
$\begin{eqnarray*} D\cdot \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liefert für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ den Ergebnisvektor.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a=-4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Widerspruch ergibt sich aus der 2. Zeile, weil 0 und 0 in x1 und x2 niemals -6 ergeben können

Im Prinzip richtig. Etwas genauer: $\begin{eqnarray*} 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} a\neq 2 \wedge a\neq -4 \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis der 2. Zeile heißt $\begin{eqnarray*} 1\cdot x_{2}=\frac{1}{a+4} \end{eqnarray*}$ . Das kann man in die 1. Zeile einsetzen und erhält $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ (hast Du ja offenbar richtig aufgeschrieben)
Man hätte alternativ mit der weiteren Zeilenoperation $\begin{eqnarray*} I-(2-a)\cdot II \end{eqnarray*}$ die Lösung für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ auch innerhalb der Matrix erzeugen können.

Gedanken und Erfahrung:
Wenn man mal eine Reihe solcher Aufgaben gerechnet hat, bekommt man einfach einen Überblick, worauf es meistens hinausläuft - eben Nullzeilen und Widersprüche.
Standard ist, die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen.
Die Linearfaktorzerlegung polynomialer Terme bietet sich an, da Faktorisierung immer für die Untersuchung günstig ist, wenn etwas 0 werden soll.
Ansonsten handelt es sich hier um eine Musteraufgabe von mäßigem Schwierigkeitsgrad, die die gängigen Lösungstypen
- eindeutige Lösung
- unendlich viele Lösungen
- keine Lösung
abdeckt. Es gibt natürlich auch kniffligere Aufgaben mit größeren Matrizen und filigraneren Fallunterscheidungen.

19.01.2020, 20:07

weekender20

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@ MikeV

Ich würde empfehlen die Aufgabe auch mal mit Hilfe von Determinanten durchzurechen (Aufgabe 7a legt nahe, dass ihr das ja schon kennt).

Ein hilfreiches Kriterium zur Lösbarkeit quadratischer Gleichungssysteme (Anzahl Gleichungen=Anzahl Unbekannte) ist nämlich, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix (hier die Matrix A) "ungleich Null" sein muss, wenn es genau eine Lösung gibt (und demnach "gleich Null" wenn es unendlich viele oder keine Lösungen gibt). Mit Hilfe der Cramer-Regel - falls bekannt - kann man mit Hilfe von Nebendeterminanten auch noch genauere Aussagen darüber treffen wann nun unendlich viele oder keine Lösungen auftreten und sogar ebenso den Vektor für die eindeutige Lösung angeben.
Alternativ zu Cramer erhält man durch det(A)=0 direkt die beiden zu betrachtenden Werte für a, kann sie separat in die Matrix A einsetzen und das entstehende LGS buchstabenfrei lösen.

Ebenso musst du auch beim Gaußverfahren aufpassen, wenn du eine Gleichung mit einem Parameter multiplizierst (hier 2a), denn man darf eine Gleichung ja nicht mit Null multiplizieren.
Deshalb müsstest du eigentlich noch bei der Umformung ganz am Anfang $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ dazu schreiben und den Fall a=0 gesondert betrachten - ansonsten gibt es mit Sicherheit Punktabzug.
Dieses Problem umgehst du übrigens, wenn du dich direkt der zweiten Spalte widmest, sprich $\begin{eqnarray*} 8 \cdot I + II \end{eqnarray*}$ rechnest - diese Variante ist unabhängig von a.

21.01.2020, 22:47

MikeV

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RE: Matrizen
Danke dir, wirklich vielen Dank für deine Unterstützung. smile

Ich muss wirklich sagen, dass mir Mathematik mehr und mehr gefällt. Sagt mir definitiv mehr zu als stupides auswendig lernen Big Laugh

. Und ehrlich gesagt fängt es an Spaß zu machen sich der Herausforderung der Lösungsfindung zu stellen.

Denke bin definitiv ein gutes Stück weiter gekommen. Ich habe mich in den letzten beiden Tagen intensiv in die vektorielle Geometrie einarbeiten müssen, da dies auch ein Themengebiet meiner Klausur sein wird. Daher komme ich jetzt erst wieder dazu mich zurück zu melden. Die nächste Aufgabe dieser Form habe ich jetzt von einer anderen Altklausur vor mir liegen und bin gespannt, ob ich sie gelöst bekomme. smile

Eine Frage habe ich noch zum Lösungsergebnis von Fall 3 wie wird die Umformung auf das Ergebnis aus der Klausurlösung durchgeführt?

Lg

22.01.2020, 00:32

MikeV

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Hallo weekender20,

danke dir für deinen Lösungsvorschlag. Wir haben in der Vorlesung Determinanten behandelt und auch von Cramer habe ich gehört, allerdings musste ich mich neu einarbeiten. Ich habe es gleich ausprobiert und bin mit dieser Methode so weit fortgeschritten wie es mir möglich war.

Wenn ich denn, soweit mit meiner Anwendung richtig liege und mir keine Rechenfehler unterlaufen sind stehe ich jetzt vor dem Problem, dass ich 7 Ergebnisse für C ermittelt habe und nicht weiß wie ich nun geschickt weiter fortfahren kann.

Würde mich auf Unterstützung und weitere Anhaltspunkte zum Fortfahren freuen.

Lg Mike

22.01.2020, 03:41

MikeV

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RE: Matrizen
Dies ist mein Lösungsversuch mit Gauß, würde sagen ist relativ erfolgreich gelaufen, allerdings muss ich wirklich schneller werden und mich kürzer ausformulieren, denn diese Aufgabe gibt zum Beispiel 10 Punkte und der Prof. sagt wir können die Punkte in Minuten umrechnen und wissen wie lange wir für eine Aufgabe brauchen dürfen.

Wenn euch Stellen auffallen, oder allgemein Tipps und Ideen habt wie und wodurch ich Zeit sparen oder schneller werden kann, dann bin ich gerne offen für jeden Ratschlag.

Bei dieser Aufgabe, habe ich ein kleines Problem mit dem Minus -c^2 gehabt, da ich unsicher war in wie fern ich es richtig weiter mitnehme oder ob ich auch die Gleichung nach der -1 Multiplikation hätte weiter mitnehmen können.

Auch habe ich mich gefragt, wenn ich jetzt eine Zahl für das c in -c^2 einsetze, wie wäre sie richtig einzusetzen. Also würde ich jetzt eine 2 einsetzen, wäre (-2)^2 oder -(2)^2. Ich hatte vor kurzem eine Integralaufgabe, da war nach dem Aufleiten ein -x^2 und dann habe ich die Grenzen für das Integral in das X eingesetzt und dort meine ich mich zu erinnern durfte ich das Minus nicht mit in die Klammer nehmen, da ich sonst ein falsches Ergebnis erhielt. Gibt es hier verschiedene Fälle oder eine klare Regelung, an der ich mich orientieren kann?

Beim Fall 1 sieht man, dass ich hier nicht wusste mehr wie ich die Vorzeichen richtig berücksichtige, denn in der 2. Zeile steht zum einen allgemein zu Anfang 0 + aus der Ursprungsgleichung, sowie das - Minus von dem -c^2 und wenn ich erst die innere Klammer mit dem - Vorzeichen auflöse wird daraus -3+3, was ich zuvor nämlich anders machte, daher ergab auch die 2. Spalte bei mir kein wahres Ergebnis, weshalb ich erst leere Lösungsmenge heraus bekam. Nach der Berichtigung des Vorzeichen kommt nun 0 raus und wenn ich diese Null mit der zweiten Klammer, also (3+1) multipliziere ergibt des Ausdruck auf Beiden Seiten Null. Ist das nun dann ein Fall für unendlich viele Lösungen?
Und sagt man hier zu keiner Lösung Leere Lösungsmenge, so wie ich es aufgeschrieben habe?

Reicht es aus, dass eine Zeile eine Lösung ergibt, um eine Lösung zu erhalten, selbst wenn die andere widersprüchlich ist?

Und meine letzte Frage oder Gedanke den ich hatte betrifft den Fall c=0, wie ich diesen Fall hier richtig berücksichtige, denn wenn ich für c=0 prüfe, erhalten ich tatsächlich ein Ergebnis für x2 und zwar x2=2 und x1 würde wegfallen, da es sich mit 0 multipliziert. Was ich nur irritiert ist, dass dieses x2=2 nicht in der Klausurlösung mit angegeben wird, vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht.

Ich hoffe es sind nicht zu viele Fragen und würde mich auch hier wieder sehr über eine Aufklärung und kompetenten Input freuen.

LG Mike

22.01.2020, 13:41

weekender20

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Hallo MikeV Wink

Genau wegen dem Zeitaspekt in einer Klausur brachte ich den Miteinbezug von Determinanten ins Spiel.
Du kannst dann für dich selbst entscheiden, ob du dich mit Gauß, Determinanten oder einer Kombination aus beidem am besten/effizientesten fühlst.

Um die "kritischen Werte" für den Matrixparameter (hier: c) zu bestimmen, würde ich vielleicht wirklich mit der Determinante arbeiten.
Einfach weil du bei Gauß immer darauf achten musst, dass wenn du eine Gleichung mit einem Parameter multiplizierst, keine Multiplikation mit Null erlaubt ist.
Hier musst du bei deinem $\begin{eqnarray*} II \cdot c+I \end{eqnarray*}$ auch direkt $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ fordern, da man sonst keine Äquivalenzumformung mehr hätte.
Für c=0 müsste man das LGS dann eigentlich nochmal separat betrachten, denn diesen Fall darf man ja nicht einfach wortlos unter den Tisch kehren.

Du machst beim Einsetzen übrigens noch einen Fehler:
Wenn man c=3 in die erste Zeile einsetzt, dann hat man nicht 3+3=6-3 sondern 3x+3y=6-3.
Die Vektorkoordinaten x und y fallen nur dann weg, wenn der Vorfaktor Null wird, sonst nicht.

Mal ein Vorschlag, wie man es mit Determinanten so kurz wie möglich aufschreiben kann:

$\begin{eqnarray*} det(A)=|A|=c \cdot (2-c)+3=-c^2+2c+3 ~ \rightarrow ~ |A|=0 \overset{\text{: (-1)}}{\iff} c^2-2c-3=0 \overset{\text{(*)}}{\iff} (c-3)(c+1)=0 ~ \rightarrow ~ c=3 ~ \vee ~ c=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=3 \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 3 & 3 & 3\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \overset{\text{3II+I}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|c} 3 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \text{unendlich viele Lösungen mit } ~ 3x+3y=3 \iff x=1- \lambda ~ \text{und} ~y=\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=-1 \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} -1 & 3 & 7\\ -1 & 3 & -1 \end{array}\right) \overset{\text{I-II}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|c} -1 & 3 & 7\\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right) \rightarrow \text{keine Lösung} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \neq 3 \wedge c \neq -1 \rightarrow x_1=\frac{|A_1|}{|A|}=\frac{(6-c)(2-c)+3}{-c^2+2c+3}=-\frac{c^2-8c+15}{c^2-2c-3} \overset{\text{(*)}}{=} -\frac{(c-3)(c-5)}{(c-3)(c+1)}=-\frac{c-5}{c+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-c+6-c}{-c^2+2c+3}=\frac{-2c+6}{-c^2+2c+3} \overset{\text{(-1)}}{=} \frac{2c-6}{c^2-2c-3}=\frac{2(c-3)}{(c-3)(c+1)}=\frac{2}{c+1} \end{eqnarray*}$

Bei den mit einem Stern markierten Stellen habe ich die Faktorisierungen direkt angegeben, da man sie bei glatten Zahlen leicht sehen kann.
Z.B. bei c²-8c+15 überlegt man sich zwei Zahlen, die multipliziert 15 und addiert -8 ergeben.
Es liegt auf der Hand, dass hier -3 und -5 bestens in Frage kommen, wodurch sich direkt die Faktorisierung (c-3)(c-5) ergibt.
Mit deiner Nullstellenbestimmung geht das natürlich auch, aber wie du siehst, spart man damit auch nochmal Zeit.

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