Likelihood-Quotiententest (Hypothesen/Zufallsvariablen)

18.01.2020, 09:34	Fragewurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Likelihood-Quotiententest (Hypothesen/Zufallsvariablen) Die Variablen $\begin{eqnarray} \lbrace X_k: 1 \leq k \leq n \rbrace \end{eqnarray}$ seien unabhängig und identisch verteilt. Der Mittelwert ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Ein Forscher behauptet, die Daten $\begin{eqnarray} \tilde{X_k}=(X_k-\mu) \end{eqnarray}$ seien standard normalverteilt, eine Forscherkollegin behauptet, die Daten seien zweiseitig exponentialverteilt mit Dichte $\begin{eqnarray} f(x)=\exp\lbrace - \sqrt{2} \|x\| \rbrace / \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass der kritische Bereich des optimalen Tests der Hypothese "normalverteilt" gegen die Alternative "zweiseitig exponentialverteilt" von der Form $\begin{eqnarray} K= \lbrace \sum_{k=1}^{n}{(\|\tilde{X_k}\|-\sqrt{2})^2>c(n)\rbrace} \end{eqnarray}$ ist. Meine Idee ist, dies mit dem Likelihood-Quotiententest zu machen: Der Likelihood-Quotient für einen Datenpunkt ist $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{exp}\lbrace - \sqrt{2}\|x\|\rbrace \sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}\mathrm{exp}\lbrace-x^2/2\rbrace}=\sqrt{\pi}\mathrm{exp}\lbrace \frac{1}{2}(x^2-2\sqrt{2}\|x\|)\rbrace=\sqrt{\pi}e^{-1}\mathrm{exp}\lbrace\frac{1}{2}(\|x\|-\sqrt{2})^2\rbrace \end{eqnarray}$ Für die ganze Stichrobe gilt $\begin{eqnarray} \pi^{n/2}e^{-n}\mathrm{exp} \lbrace \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}{(\|x_k\|-\sqrt{2})^2\rbrace} \end{eqnarray}$ Und der Likelihood-Quotiententest ist somit von der Form $\begin{eqnarray} K=\lbrace \pi^{n/2}e^{-n}\mathrm{exp}\lbrace \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}{(\|X_k\|-\sqrt{2})^2 \rbrace > \tilde{c} \rbrace}=\lbrace \sum_{k=1}^{n}{(\|X_k\|-\sqrt{2})^2\rbrace>2 \mathrm{log}(\tilde{c}e^n\pi^{-n/2})\rbrace} \end{eqnarray}$ Ich habe den kritischen Bereich $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ herausbekommen, aber ohne Berücksichtigung des Mittelwerts $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Wie muss ich $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ verwenden, um $\begin{eqnarray} \tilde{X_k} \end{eqnarray}$ zu erhalten?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »