Primitive Einheitswurzel / Galoiserweiterung

Neue Frage »

Asau Auf diesen Beitrag antworten »
Primitive Einheitswurzel / Galoiserweiterung
Meine Frage:
Servus,

brauche wieder eure Hilfe: Sei und eine primitve -te Einheitswurzel. Dann ist eine Galoiserweiterung.

Meine Ideen:
Eine Galoiserweiterung ist eine normale und separable Körpererweiterung. Oftmals bestimmt man eine Eigenschaft aber nicht durch die Definition selbst, sondern durch Sätze, wie ich auch hier vermute...

Als Hinweis steht noch da: Wegen der Transitivität der Galoisgruppe gibt es für jedes mit ein mit .
Das bezieht sich aber vermutlich auf die anschließend noch zu machenden Bestimmung von .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Normal genügt, weil Erweiterungen der Charakteristik 0 immer separabel sind. Normal ist die Erweiterung, weil sie der Zerfällungskörper des p-ten Kreisteilungspolynoms ist. Allgemeiner ist . Schlag nach unter Kreisteilungskörper, da findest du etwas.
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir. Du hast recht.

Kannst du mir noch helfen, zu bestimmen? Weiß mit dem Hinweis nicht so recht etwas anzufangen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine primitive -te Einheitswurzel mit ist offensichtlich eine Nullstelle des Polynoms . Das Minimalpolynom ist ein Teiler davon(, dass es für eine Primzahl gleich ist sei nur am Rande erwähnt (siehe "Kreisteilungspolynome")). Die Galoisgruppe muss die Nullstellen des Minimalpolynoms permutieren, d.h. jeder Automorphismus muss auf eine primitive -te Einheitswurzel mit abbilden. Für Primzahlen ist das gleichbedeutend damit, dass ist. Transitive Gruppe heißt, dass genügend Automorphismen da sind um alle primitiven Einheitswurzeln als Bild zu erreichen, d.h. es gibt genau Automorphismen in der Galoisgruppe. Tatsächlich ist . Die Grundidee wird vielleicht noch klarer, wenn man beachtet, weil man daran erkennt, dass immer eine Nullstelle von ist.
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis,

also das habe ich verstanden (bei uns muss es nicht das Minimalpolynom sein, sondern ein -irreduzibles Polynom):

Zitat:
Original von Elvis
Die Galoisgruppe muss die Nullstellen des Minimalpolynoms permutieren, d.h. jeder Automorphismus muss auf eine primitive -te Einheitswurzel mit abbilden. Für Primzahlen ist das gleichbedeutend damit, dass ist. [...] d.h. es gibt genau Automorphismen in der Galoisgruppe.

Also eigentlich heißt transitiv ja, dass es zu je 2 Nullstellen ein Automorphismus gibt mit , oder? Aber irgenwie kommt es ja auf das Gleiche raus, wenn man stattdessen von ausgehend alle anderen Nullstellen per Automorphismen erreicht. Und dafür braucht es Automorphismen.

Bin ich jetzt eigentlich fast fertig? Wir haben diese Woche das Thema angefangen, deshalb bin ich noch unsicher darin... Also da ist einfach ???
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und wie man sieht, ist das die zyklische Gruppe der Ordnung p-1.
 
 
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir Elvis! Gott Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »