Einfache lineare DGL 1. Ordnung

18.01.2020, 20:20	encore_	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache lineare DGL 1. Ordnung Hey, ich komme zu folgender DGL nicht weiter: $\begin{eqnarray} y'= (4x + xy)y \end{eqnarray}$ Ich weiß dass ich durch Trennung der Variablen auf folgenden Ausdruck komme: $\begin{eqnarray} \frac{y'}{(4+y)y} = x \end{eqnarray}$ Durch Integration folgt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{1}{(4+y)y} \, dy = \int_{}^{} \! x \, dx \end{eqnarray}$ Aber wie löse ich jetzt das Integral der linken Seite? Ich weiß dass $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{y'}{y} \, dx = ln(y) \end{eqnarray*}$ aber irgendwie hilft es mir nicht so wirklich weiter.. Ich wäre sehr dankbar für eine kurze Erklärung des Lösungswegs Mfg Jendrik
18.01.2020, 20:52	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nun Partialbruch zerlegen. Durch die Partialbruchzerlegung folgen zwei Summen, die du dann mithilfe der Integration durch Substitution lösen kannst.
18.01.2020, 22:21	encore_	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \frac{1}{(4+y)y} <br /> \end{eqnarray}$ Partialbruch zerlege erhalte ich die Koeffizienten $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Dadurch erhalte ich das Integral $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} * \int_{}^{} \! \frac{1}{4+y} \, dy + \frac{1}{4} \int_{}^{} \! \frac{1}{y} \, dy \end{eqnarray}$ Nun substituiere ich 4+y = u und erhalten nach Auflösen der Integrale $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} * ln(u) + \frac{1}{4} ln(y) \end{eqnarray}$ Zusammen mit der rechten Seite der Gleichung erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} * ln(u) + \frac{1}{4} ln(y) = \frac{1}{2} * x^2 \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren und e^ bringt dann: $\begin{eqnarray} <br /> - e^{ln(4+y)} + e^{ln(y)} = e^{2x^2} \end{eqnarray}$ Hier stoß ich nun darauf, dass sich y raus subtrahiert.. $\begin{eqnarray} -(4+y)+y = e^{2x^2} \end{eqnarray*}$
18.01.2020, 23:05	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}(ln(y)-ln(y+4))=\frac{x^2}{2} \end{eqnarray}$ Nun Ln-Gesetze anwenden: $\begin{eqnarray} ln(\frac{y}{y+4} )=2x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{y}{y+4}=e^{2x^2} \end{eqnarray}$ Nun nach y auflösen.
19.01.2020, 12:35	encore_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, alles klar vielen dank du konntest mir weiterhelfen Hier noch einmal die Lösung: Auflösen des ln() führt zu : $\begin{eqnarray} \frac{y}{y+4} = e^{2x^2+4C} \end{eqnarray}$ Umstellen nach y: $\begin{eqnarray} y=e^{2x^2+4C}(4+y) \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren führt dann zu: $\begin{eqnarray} y(1-e^{2x^2+4C})=4e^{2x^2+4C} \end{eqnarray}$ und schlussendlich zum Ergebnis (sagt auch Wolframalpha) $\begin{eqnarray} y= - \frac{4e^{2(x^2+2C)} }{e^{2(x^2+2C)}-1} <br /> \end{eqnarray}$ Vielen Dank nochmal! Mfg

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