Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion

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PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Hallo liebes Matheboard,

Ich habe folgende Aufgabe:

Man soll entscheiden ob folgende Funktion stetig Ergänzbar im Punkt ist. Laut Aufgabenstellung: "In anderen Worten, bestimmen Sie, ob der Grenzwert existiert, und falls ja, berechnen Sie ihn." Die Funktion folgt mit:

\ {0}

Nun hatten wir bisher eigentlich fast keine Definition des Grenzwertes bei Funktionen, bis auf das Folgenkriterium, also dass eine Funktion einen Grenzwert in besitzt wenn alle Folgen die gegen dieses konvergieren, eingesetzt in die Funktion, also die Funktion gegen ein a aus den reellen Zahlen konvergieren lässt. Auch haben wir Sätze wie (nur ein Beispiel von vielen) l'hospital noch nicht, die Aufgabe muss also mit möglichst wenig Wissen gelöst werden.

Mein Ansatz:

Ich habe die e-Funktion als Potenzreihe umgeschrieben, also:



Und der Limes davon sollte ja gegen 1 laufen, und die Funktion damit stetig ergänzbar, wenn man f(0) als 1 definiert, oder nicht ... ? Ich habe sehr sehr viele Fragen zu diesem Thema und es fällt mir schwer mich kurz zu halten, aber ich werde es versuchen:

1) Ist dieser Ansatz überhaupt richtig so?
2) Muss ich separat erst beweisen, dass ein Grenzwert existiert oder reicht es dies durch die Berechnung zu zeigen oder zu widerlegen?
3) Hätte ich anstatt x lieber schreiben sollen, wegen dem Folgenkriterium?
4) Gibt es eine einfachere Art den Grenzwert zu berechnen (so wie der limes von manchen Folgen sehr leicht zu berechnen ist)? Ohne irgendwelche zu speziellen Sätze?

Ich bedanke mich schonmal für eure Aufmerksamkeit!

Mfg,
P
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Zitat:
Original von PeMep
1) Ist dieser Ansatz überhaupt richtig so?

Ja, es ist einer von mehreren möglichen Ansätzen. Da du selber sagst, dass ihr bisher wenig Wissen angehäuft habt, ist das aber ein sehr schöner, elementarer Weg. Trotzdem ein paar Anmerkungen:

Die Folgerungspfeile gehören da nicht hin. Du folgerst nichts, du formst um, also setze Gleichheitszeichen.

Die Pünktchenschreibweise ist immer sehr mit Vorsicht zu behandeln und hier nicht notwendig, also weg damit.
Zitat:
Original von PeMep
2) Muss ich separat erst beweisen, dass ein Grenzwert existiert oder reicht es dies durch die Berechnung zu zeigen oder zu widerlegen?

Du sagst, dass der Limies gegen 1 laufen sollte...welcher Limes? Bisher steht da eine Reihe, wenn du den Grenzwert betrachtest, dann schreib das entsprechend hin. Und warum sollte da 1 rauskommen? Guck dir mal an, was ihr zu Potenzreihen so aufgeschrieben habt (Konvergenzradius und Stetigkeit).
Zitat:
Original von PeMep
3) Hätte ich anstatt x lieber schreiben sollen, wegen dem Folgenkriterium?

Nein, sofern ihr nicht zwingend sämtliche Grenzwerte auf die Definition mittels Folgen zurückführen müsst, ist die Verwendung bzw. Schreibweise durchaus üblich und verständlich und natürlich richtig.
Zitat:
Original von PeMep
4) Gibt es eine einfachere Art den Grenzwert zu berechnen (so wie der limes von manchen Folgen sehr leicht zu berechnen ist)? Ohne irgendwelche zu speziellen Sätze?

Natürlich, das hängt dann ganz von deinem Vorwissen ab. Die einfachste Methode die mir einfällt wäre das ganze als bekannten Differentialquotienten zu identifizieren und (Kenntnis der Exponentialfunktion und ihrer Ableitung vorausgesetzt) den Grenzwert einfach "hinzuschreiben".
 
 
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Vielen dank für die ausführliche Antwort!!!

Ja die Pfeile waren ein Versehen.

Ich bin von ausgegangen, da gegen 0 strebt. Ich dachte vielleicht kann man argumentieren, dass dadurch x verschwindend klein wird und die Fakultät im Nenner immer größer. Und weil der erste Summand ja eine 1 und somit Konstant und unabhängig von x ist, die gesamte Summe sich gegen 1 annähert. Wir haben leider Potenzreihen, bis auf eine einmalige Erwähnung nie weiter betrachtet, mir sagt der Begriff "Konvergenzradius" leider gar nichts.

Leider bin ich gerade an einem Smartphone, weshalb das Formatieren ein wenig anstrengend ist. Deshalb lasse ich ein wenig was weg.

Nochmal vielen vielen Dank aufjedenfall!

Mfg,
P
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Zitat:
Original von PeMep
Ich dachte vielleicht kann man argumentieren, dass dadurch x verschwindend klein wird und die Fakultät im Nenner immer größer. Und weil der erste Summand ja eine 1 und somit Konstant und unabhängig von x ist, die gesamte Summe sich gegen 1 annähert. Wir haben leider Potenzreihen, bis auf eine einmalige Erwähnung nie weiter betrachtet, mir sagt der Begriff "Konvergenzradius" leider gar nichts.


Hmm, dann fällt es mir etwas schwer zu beurteilen, was bei euch als Argumentation ausreicht. Diese Art der beschreibenden Argumentation was denn so ungefähr näherungsweise passiert ist mir immer ein Dorn im Auge, auch wenn es hier letztendlich passt. Eine mögliche Argumentation würde etwa als Potenzreihe mit Konvergenzradius verwenden und da Potenzreihen auf ihrem Konvergenzradius stetig sind ist dann . Eventuell habt ihr das bisher einfach intuitiv verwendet oder ähnliche Beispiele im Skript gehabt?
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Wir haben leider fast gar nichts zur Stetigkeit oder zu Funktionen mit Grenzwerten bisher gemacht. Wir haben das Thema ungefähr in zwei Vorlesungen behandelt und das wars dann auch...

Ich studiere auch nicht Mathematik, sondern Informatik, dennoch finde ich das bei uns teilweise keine Grundlagen für die (Pflicht!)Übungsaufgaben vermittelt werden. Letzte Vorlesung haben wir den Differentialquotienten eingeführt, aber uns noch nicht mit gängingen Ableitungen etc beschäftigt, sondern nur besprochen was es bedeutet, wenn eine Funktion differenzierbar auf einem Intervall ist (da die Vorlesung fast schon zu ende war). Ich kann dich verstehen, mit dieser Art der "Argumentation" kann man wirklich nicht ganz zufrieden sein. Aber mir fiel leider gerade nichts besseres ein. Wie gesagt weiß ich nicht einmal, was ein Konvergenzradius sein soll.

Tut mir leid, ich wüsste gerade nicht wie ich noch irgendeinen Anhaltspunkt liefern könnte mit dem man mir weiterhelfen könnte, aber du hast mir trotzdem bisher sehr geholfen, danke vielmals nochmal.

Mfg,
P
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Zitat:
Original von Iorek
.... und da Potenzreihen auf ihrem Konvergenzradius stetig sind ist dann .


Hmmm, aber dann steht im ersten Term der Ausruck 0^0. Auch wenn 0^0 üblicherweise als 1 definiert ist, müsste man imho schon zeigen, wieso diese Definition bei dieser konkreten Rechnung Sinn macht.

Viele Grüße,
Nils
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Zitat:
Original von PeMep
Ich bin von ausgegangen, da gegen 0 strebt.


Ich würde hier den Weierstraßschen M-Test verwendet. Schränkt man den Definitionsbereich auf das Intervall (0,1] ein, so gilt nämlich



für k => 1 und alle x aus (0,1]. Wegen



ist das Kriterium des M-Tests erfüllt und die Ausgangsreihe somit gleichmäßig konvergent. Folglich kann man den Limes unter das Summenzeichen ziehen und erhält:

= 1.

Viele Grüße,
Nils
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Ergänzung + Grenzwert einer Funktion
Zitat:
Original von Nils Hoppenstedt
Wegen



ist das Kriterium des M-Tests erfüllt und die Ausgangsreihe somit gleichmäßig konvergent.


Zugegeben, die Frage nach bedarf in meinem Ansatz ein paar Worten, aber wenn der Begriff des Konvergenzradius einer Potenzreihe nicht bekannt ist, dürfte auch die gleichmäßige Konvergenz wahrscheinlich nicht thematisiert worden sein. Augenzwinkern

Aber falls doch: schöner Ansatz!
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